[논문 리뷰] A passivity-based stability criterion for a class of interconnected systems and applications to biochemical reaction networks

Murat Arcak, Eduardo D. Sontag|arXiv (Cornell University)|2007. 05. 22.

Gene Regulatory Network Analysis참고 문헌 27인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 상호연결된 비선형 시스템, 특히 생화학 반응 네트워크에 특히 적용 가능한 피아스티비티 기반 안정성 기준을 제안한다. 하위계의 피아스티비티, 상호연결 구조, 상호작용의 부호 패턴을 포함하는 소산성 행렬을 구성함으로써, 이 행렬의 대각선 안정성에 기반해 전역 점근적 안정성을 결정하는 방법이다. 이는 순환 구조에 국한된 기존의 세컨트 기준을 일반적인 그래프 구조로 확장하며, MAPK 계열과 분지형 대사 네트워크와 같은 상태 곱을 포함하는 시스템의 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper presents a stability test for a class of interconnected nonlinear systems motivated by biochemical reaction networks. One of the main results determines global asymptotic stability of the network from the diagonal stability of a "dissipativity matrix" which incorporates information about the passivity properties of the subsystems, the interconnection structure of the network, and the signs of the interconnection terms. This stability test encompasses the "secant criterion" for cyclic networks presented in our previous paper, and extends it to a general interconnection structure represented by a graph. A second main result allows one to accommodate state products. This extension makes the new stability criterion applicable to a broader class of models, even in the case of cyclic systems. The new stability test is illustrated on a mitogen activated protein kinase (MAPK) cascade model, and on a branched interconnection structure motivated by metabolic networks. Finally, another result addresses the robustness of stability in the presence of diffusion terms in a compartmental system made out of identical systems.

연구 동기 및 목표

• 복잡한 상호연결 구조(간단한 사이클을 초월함)를 가진 생화학 반응 네트워크를 기반으로 하여 상호연결된 비선형 시스템의 안정성 기준을 개발한다.
• 순환 시스템에 대한 세컨트 기준을 그래프로 표현된 일반적인 상호연결 구조로 확장함으로써, 실제 생물학적 네트워크에 더 넓은 적용 가능성을 확보한다.
• 이전 연구에서 제외된 상태 곱을 모델에 통합함으로써, 억제 피드백이 있는 MAPK 계열과 같은 더 현실적인 생화학 시스템의 분석을 가능하게 한다.
• 공간 분할을 모델링한 확산 항을 포함하는 분할계 모델에서 안정성의 유지 조건을 확립하고, 저장 함수가 볼록 조건을 만족할 경우 안정성이 유지됨을 증명함으로써 안정성의 강건성을 확보한다.
• 균형점의 위치를 알 필요 없이 검증 가능한 상태공간 조건을 제시하여, 시스템 생물학에서 흔히 볼 수 있는 음이 아닌 상태변수 시스템에 적합한 조건을 제공한다.

제안 방법

• 상호연결 구조와 항의 부호를 캡슐화하는 $ A $와 각 하위계의 피아스티비티 마진 $ \gamma_i $ 를 반영하는 $ \Gamma = \text{diag}(1/\gamma_i) $ 를 사용해 소산성 행렬 $ E = A - \Gamma $ 을 구성한다.
• 대각선 안정성 조건을 적용한다: $ D > 0 $ 인 대각행렬이 존재하여 $ E^T D + D E < 0 $ 를 만족하는 경우, 이는 상호연결된 시스템의 전역 점근적 안정성을 보장한다.
• 균형점의 위치에 의존하지 않고 안정성을 증명하기 위해, 각 하위계의 저장 함수를 $ D $ 의 성분으로 가중한 복합 라플라스 함수를 사용한다.
• 상태 곱을 수용할 수 있는 새로운 저장 함수 구성 방법을 도입함으로써, 이전 연구의 접근 방식을 일반화하고 생화학 동역학에서 흔한 비선형 항의 분석을 가능하게 한다.
• 구획 모델에 확산 항을 도입하여 공간 국소화를 모델링하고, 각 구획에서 피아스티비티 기반 안정성 조건이 만족되고 저장 함수가 볼록일 경우 안정성이 유지됨을 증명한다.
• 입력/출력 피아스티비티 이론을 활용하고 [27,28]의 레이마를 응용하여 I/O 안정성 결과와 상태공간 라플라스 접근법을 연결함으로써, 외란 하에서의 강건성 분석이 가능해진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순환 생화학 네트워크에 대한 세컨트 기준은 일반적인 상호연결 구조(그래프로 표현됨)로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 피아스티비티 기반 안정성 분석은 이전에 배제되었던 상태 곱을 포함하는 시스템으로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ3 생화학 네트워크의 분할 모델에 확산 항이 도입될 경우, 전역 점근적 안정성이 유지되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 균형점의 위치를 알지 못해도 검증 가능한 상태공간 조건은 무엇인가, 이는 피아스티비티를 보장하는 데 기여하는가?
• RQ5 수치적 LMI 검증을 초월하여 반응 속도 계수와 안정성 간의 명시적 해석 조건을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 안정성 기준은 일반적인 상호연결 그래프로 세컨트 기준을 일반화하며, 순환 구조는 특수한 경우에 해당한다.
• 이 방법은 소산성 행렬 $ E $ 의 대각선 안정성 검증을 통해 전역 점근적 안정성을 결정하며, 이는 하위계의 피아스티비티, 상호연결 구조, 부호 정보를 통합한다.
• 각 구획이 피아스티비티 기반 안정성 조건을 만족하고 저장 함수가 볼록일 경우, 분할 모델의 확산 항에 대해 안정성이 유지됨을 보장한다.
• 새로운 저장 함수 구성 방법 덕분에 상태 곱을 포함하는 시스템, 예를 들어 억제 피드백이 있는 MAPK 계열 모델의 분석이 가능해졌으며, 이는 이전 프레임워크에서는 해결이 어려웠다.
• 예제 2의 분지형 상호연결 구조에 대해 세컨트 기준과 유사한 해석 조건이 유도되었으며, 향후 더 많은 해석적 특성화의 가능성을 시사한다.
• 대각선 안정성의 수치적 검증은 선형 행렬 부등식(LMI) 솔버를 통해 효율적으로 수행될 수 있어, 대규모 네트워크에 대한 실용적 적용이 가능하다.