[논문 리뷰] A pathway-based mean-field model for E. coli chemotaxis: Mathematical derivation and Keller-Segel limit

Guangwei Si, Min Tang외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 12.

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한 줄 요약

이 논문은 운동론 이론과 모멘트 폐쇄를 이용하여 E. coli의 화학성향에 대한 경로 기반 평균장 모멘트 체계를 개발한다. 선형 대류항을 갖는 쌍곡계로 표현되며, 특정 가정 하에서 원래의 PBMFT 모델을 복원한다. 파arabolic 척도 한계에서 Keller-Segel 모델과 엄밀한 연결을 수립하고, 시공간적으로 변화하는 리간드 환경에서 에이전트 기반 시뮬레이션과 정량적 일치를 보여준다.

ABSTRACT

A pathway-based mean-field theory (PBMFT) was recently proposed for E. coli chemotaxis in [G. Si, T. Wu, Q. Quyang and Y. Tu, Phys. Rev. Lett., 109 (2012), 048101]. In this paper, we derived a new moment system of PBMFT by using the moment closure technique in kinetic theory under the assumption that the methylation level is locally concentrated. The new system is hyperbolic with linear convection terms. Under certain assumptions, the new system can recover the original model. Especially the assumption on the methylation difference made there can be understood explicitly in this new moment system. We obtain the Keller-Segel limit by taking into account the different physical time scales of tumbling, adaptation and the experimental observations. We also present numerical evidence to show the quantitative agreement of the moment system with the individual based E. coli chemotaxis simulator.

연구 동기 및 목표

• 경로 기반 평균장 이론(PBMFT)에 기반한 E. coli 화학성향에 대한 수학적으로 엄밀한 모멘트 체계를 개발하고, 세포 내 신호 전달 역학을 통합한다.
• 새로운 모멘트 체계 프레임워크 내에서 국소적으로 집중된 메틸화 수준에 대한 가정을 분석적·수치적으로 정당화한다.
• 느린 변화하는 환경 조건 하에서 모멘트 체계의 수렴한 유체역학적 근사로 Keller-Segel 모델을 체계적으로 유도한다.
• 시공간적으로 변화하는 리간드 환경에서 신호 전달 경로 기반 에이전트 기반 시뮬레이터(SPECS)와의 정량적 비교를 통해 신규 모멘트 체계를 검증한다.

제안 방법

• 운동론 이론에서 모멘트 폐쇄 기법을 적용하여 속도-점프 과정의 밀도, 유량, 고차 모멘트에 대한 닫힌 방정식계를 유도한다.
• 평균 메틸화 수준 $ M $ 근처에서 티로어 급속도 $ z(m) $와 적응 속도 $ f(a) $의 타일러 전개를 수행하고, 2차 항까지 유지한다.
• 밀도 $ \rho $, 유량 $ J_\rho $, 제1모멘트 $ q $, 제1모멘트의 유량 $ J_q $, 제2모멘트 $ e $, 제2모멘트의 유량 $ J_e $를 위한 6개의 닫힌 방정식계를 유도한다.
• 모멘트 계층을 단순화하고 체계를 닫기 위해 국소적으로 집중된 메틸화 수준에 대한 가정을 도입한다.
• 파라볼릭 척도 하에서 수렴한 유체역학적 근사를 수행하여 모멘트 체계와 고전적 Keller-Segel 모델 간의 연결을 확립한다.
• 시공간적 리간드 변화 조건 하에서 개별 기반 E. coli 화학성향 시뮬레이터(SPECS)와의 예측 비교를 통해 모멘트 체계를 수치적으로 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 운동론 이론과 모멘트 폐쇄를 활용하여 경로 기반 평균장 이론(PBMFT)에서 쌍곡 모멘트 체계를 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 유도된 모멘트 체계가 국소적으로 집중된 메틸화 수준에 대한 가정 하에서 원래의 PBMFT 모델을 회복하는 조건은 무엇인가? 특히 메틸화 수준의 차이에 대한 가정은 어떻게 정당화되는가?
• RQ3 느린 환경 변화의 극한에서 모멘트 체계와 Keller-Segel 모델 간의 수학적 연결은 무엇인가?
• RQ4 시간적으로 변화하는 리간드 환경에서 모멘트 체계가 에이전트 기반 시뮬레이터(SPECS)의 역학과 얼마나 정량적으로 일치하는가?
• RQ5 모멘트 체계 프레임워크 내에서 국소적으로 집중된 메틸화 수준에 대한 가정을 분석적·수치적으로 정당화할 수 있는가?

주요 결과

• 유도된 모멘트 체계는 선형 대류항을 갖는 쌍곡계이며, E. coli 화학성향 역학에 대해 닫힌 수학적으로 일관된 기술을 제공한다.
• 국소적으로 집중된 메틸화 수준에 대한 가정 하에서 원래의 PBMFT 모델을 복원하며, 원래 모델에서의 메틸화 수준 차이 가정은 모멘트 전개를 통해 명시적으로 정당화된다.
• 파라볼릭 척도 하에서 모멘트 체계의 수렴한 유체역학적 근사로 Keller-Segel 모델이 유도되며, 느리게 변화하는 환경에서의 타당성을 확인한다.
• 수치 시뮬레이션 결과, 시공간적으로 변화하는 리간드 환경에서 모멘트 체계와 에이전트 기반 시뮬레이터(SPECS) 간의 정량적 일치가 확인된다.
• 모멘트 체계는 진동하는 환경에서 리간드 농도와 세포 질량중심 간의 위상 이동을 성공적으로 포착하며, 이는 고전적 Keller-Segel 모델이 설명하지 못하는 현상이다.
• $ z(m) $ 및 $ f(a) $의 타일러 전개에서 2차 항을 포함함으로써, 특히 급격히 변화하는 조건에서 비평형 화학성향 반응을 정확하게 모델링할 수 있다.