[논문 리뷰] A phase-field approach for the interface reconstruction in a nonlinear elliptic problem arising from cardiac electrophysiology

Elena Beretta, Luca Ratti외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 17.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 42인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 심장 전기생리학에서 발생하는 비선형 타원형 PDE에서 불연속적인 도전율 포함체를 재구성하기 위해 단계장 정규화 방법을 제안한다. 경계 치수 페널티를 고려한 Ginzburg-Landau 유형의 에너지로 대체함으로써, 저자들은 이완된 기능의 Γ수렴을 증명하고, Fréchet 도함수를 통해 최적성 조건을 유도하며, 수렴하는 반복적 알고리즘을 구현하여 경계 측정치로부터 임의의 형상의 포함체를 성공적으로 식별한다.

ABSTRACT

In this work we tackle the reconstruction of discontinuous coefficients in a semilinear elliptic equation from the knowledge of the solution on the boundary of the domain, an inverse problem motivated by biological application in cardiac electrophysiology. We formulate a constraint minimization problem involving a quadratic mismatch functional enhanced with a regularization term which penalizes the perimeter of the inclusion to be identified. We introduce a phase-field relaxation of the problem, replacing the perimeter term with a Ginzburg-Landau-type energy. We prove the $Γ$-convergence of the relaxed functional to the original one (which implies the convergence of the minimizers), we compute the optimality conditions of the phase-field problem and define a reconstruction algorithm based on the use of the Frèchet derivative of the functional. After introducing a discrete version of the problem we implement an iterative algorithm and prove convergence properties. Several numerical results are reported, assessing the effectiveness and the robustness of the algorihtm in identifying arbitrarily-shaped inclusions. Finally, we compare our approach to a shape derivative based technique, both from a theoretical point of view (computing the sharp interface limit of the optimality conditions) and from a numerical one.

연구 동기 및 목표

• 경계 측정치로부터 반선형 타원형 PDE 내에서 불연속적인 도전율 포함체를 식별하는 역문제를 다루는 것. 이는 심장 전기생리학에 기인한다.
• 불연속 계수를 가진 역문제에서의 비선형성과 부족한 측정치로 인한 과제를 극복하는 것.
• 작거나 비정형인 포함체를 포함하여 임의의 형상의 포함체를 식별할 수 있는 강력한 재구성 알고리즘을 개발하는 것.
• 단계장의 리프레젠테이션을 통해 원래 문제로의 이론적 수렴을 Γ수렴을 통해 확립하는 것.
• 분석적(명확한 표면 극한) 및 수치적으로 단계장 접근법과 형태 도함수 기반 방법을 비교하는 것.

제안 방법

• 이차 오차 기능에 경계 치수 정규화 항을 추가하여, 부드러운 표면을 촉진하는 제약 조건을 가진 최소화 문제로 역문제를 설정한다.
• 경계 치수 항을 Ginzburg-Landau 유형의 에너지로 대체함으로써 단계장 리프레젠테이션을 도입하여 문제를 부드러운 최적화 문제로 변환한다.
• 이완된 기능이 원래 기능으로 Γ수렴함을 증명하여, 단계장 매개변수의 0으로 수렴함에 따라 최소화자들이 원래 문제의 최소화자로 수렴함을 보장한다.
• 기능의 Fréchet 도함수를 사용하여 단계장 문제의 일阶 최적성 조건을 도출한다.
• 단계장 문제를 이산화하고, 최적성 조건에 기반한 반복적 강하 알고리즘을 구현하여 수치적 해를 얻는다.
• 다양한 포함체 형상에서 수치적으로 방법을 검증하고, 형태 도함수 기반 재구성 기법과 성능을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제한된 경계 데이터를 가진 비선형 타원형 PDE에서 단계장 접근법이 불연속적인 포함체를 효과적으로 재구성할 수 있는가?
• RQ2 단계장 리프레젠테이션의 Γ수렴이 원래 역문제의 진짜 해로의 최소화자 수렴을 보장하는가?
• RQ3 임의의 형상의 포함체를 식별하는 데 있어 단계장 방법은 형태 도함수 기반 방법보다 정확도와 강건성 면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ4 단계장 설정에서 도출된 최적성 조건의 명확한 표면 극한은 무엇인가?
• RQ5 비선형 설정에서 경계 측정치로부터 작은 또는 비정형의 포함체를 신뢰할 수 있게 재구성할 수 있는가?

주요 결과

• 경계 치수 정규화 항의 단계장 리프레젠테이션은 기능을 부드럽고 미분 가능하게 만들며, 기울기 기반 방법을 통한 효율적인 수치 최적화를 가능하게 한다.
• 이완된 기능이 원래 기능으로 Γ수렴함을 엄밀히 증명하여, 단계장 매개변수가 0으로 수렴함에 따라 이완 문제의 최소화자가 원래 문제의 최소화자로 수렴함을 보장한다.
• 단계장 문제의 최적성 조건은 기능의 Fréchet 도함수를 사용하여 도출되었으며, 이는 수렴하는 반복적 재구성 알고리즘의 설계를 가능하게 한다.
• 수치 결과는 알고리즘이 임의의 형상의 포함체를 효과적이고 강건하게 재구성할 수 있음을 보여주며, 노이즈나 제한된 데이터가 존재하는 경우에도 성능이 뛰어나다.
• 형태 도함수 기반 방법과의 비교에서 단계장 접근법은 특히 볼록형이거나 복잡한 기하형태에서 비교적 또는 더 뛰어난 정확도를 보였다.
• 이론적 분석을 통해 단계장 최적성 조건의 명확한 표면 극한이 기대되는 형태 도함수 조건과 일치함을 확인하여, 방법의 일관성을 검증하였다.