[논문 리뷰] A Physical Origin for Singular Support Conditions in Geometric Langlands Theory

Chris Elliott, Philsang Yoo|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 05.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 104인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 B-완곡된 N=4 초대칭 게이지 이론으로부터 기인하는 물리적 기원을 제시하여 기하학적 랑글랜드 이론에서의 영항성 특이 지지 조건을 설명한다. 유도 대수기하학과 인자화 대수를 통해 저자들은 경계 조건을 h*/W에 있는 진공 0에 제한할 경우 아린킨–게이츠고리 카테고리가 얻어짐을 보이며, GLn에 대해 이러한 카테고리를 종합하면 기하학적 랑글랜드 대칭의 뒤에 숨겨진 인자화 대수의 구조가 드러나리라고 추측한다.

ABSTRACT

We explain how the nilpotent singular support condition introduced into the geometric Langlands conjecture by Arinkin and Gaitsgory arises naturally from the point of view of N = 4 supersymmetric gauge theory. We define what it means in topological quantum field theory to restrict a category of boundary conditions to the full subcategory of objects compatible with a fixed choice of vacuum, both in functorial field theory and in the language of factorization algebras. For B-twisted N = 4 gauge theory with gauge group G, the moduli space of vacua is equivalent to h*/W , and the nilpotent singular support condition arises by restricting to the vacuum 0 in h*/W. We then investigate the categories obtained by restricting to points in larger strata, and conjecture that these categories are equivalent to the geometric Langlands categories with gauge symmetry broken to a Levi subgroup, and furthermore that by assembling such for the groups GL_n for all positive integers n one finds a hidden factorization structure for the geometric Langlands theory.

연구 동기 및 목표

• 아린킨과 게이츠고리가 도입한 핵심 정밀화인 기하학적 랑글랜드 이론에서의 영항성 특이 지지 조건의 물리적 기원을 설명하기 위해.
• 고정된 진공 상태와 호환되는 경계 조건의 카테고리 제한을 위한 프레임워크를 개발하기 위해.
• 4차원 N=4 슈퍼대칭 게이지 이론의 유도 모듈리 공간인 진공과 인자화 대수 및 dg 카테고리의 관계를 통해 기하학적 랑글랜드 프로그램에 연결하기 위해.
• 더 큰 스트라타의 진공 모듈리 공간에 제한할 경우, 리 대수군으로의 게이지 대칭 붕괴에 해당하는가를 추측하기 위해.
• GLn에 대해 이러한 제한된 카테고리를 종합하면 기하학적 랑글랜드 이론에 숨겨진 인자화 대수의 구조가 드러나리라고 제안하기 위해.

제안 방법

• 함수적 장 이론과 인자화 대수를 사용하여, 고정된 진공과 호환되는 경계 조건의 카테고리 제한 개념을 수학적으로 정의하기 위해.
• 고전적 BV 형식과 유도 대수기하학을 적용하여, 게이지 군 G를 가진 B-완곡된 N=4 게이지 이론의 유도 모듈리 공간인 진공을 구성하기 위해.
• 진공의 모듈리 공간을 h*/W로 식별하며, 여기서 h*는 코중량 격자이고 W는 웨일 군이다.
• dg 카테고리의 객체에 대한 체계적 지지의 개념을 통해 특이 지지 조건을 정의하며, 특히 영항성 특이 지지를 집중적으로 다룬다.
• 기하학적 사타케 동치를 사용하여 진공 0에서의 경계 조건 카테고리를 아린킨과 게이츠고리가 정의한 기하학적 랑글랜드 카테고리와 연결한다.
• 다양한 리 하위군에 관련된 카테고리를 종합하여 후보 인자화 대수를 구성한다. 이는 진공 모듈리 공간의 더 큰 스트라타의 점들로 제한함으로써 얻어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 4차원 N=4 슈퍼대칭 게이지 이론의 물리 원리로부터 기하학적 랑글랜드 이론에서의 영항성 특이 지지 조건은 어떻게 유도되는가?
• RQ2 B-완곡된 N=4 게이지 이론에서의 유도 모듈리 공간인 진공의 수학적 구조는 무엇이며, 기하학적 랑글랜드 프로그램과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 경계 조건 카테고리를 특정 진공으로 제한하는 것은 인자화 대수와 함수적 장 이론의 언어로 체계적으로 기술될 수 있는가?
• RQ4 진공 모듈리 공간의 고차원 스트라타에 있는 진공으로 제한하는 것은 리 하위군으로의 게이지 대칭 붕괴에 해당하는가?
• RQ5 GLn에 대해 n ≥ 1인 경우 이러한 제한된 카테고리를 종합하면 기하학적 랑글랜드 이론의 뒤에 숨겨진 인자화 대수의 구조가 드러나는가?

주요 결과

• 영항성 특이 지지 조건은 B-완곡된 N=4 게이지 이론에서 진공 0 ∈ h*/W로 경계 조건 카테고리를 제한함으로써 자연스럽게 유도된다.
• 게이지 군 G를 가진 B-완곡된 N=4 게이지 이론의 진공 모듈리 공간은 h*/W와 동형이며, 여기서 h*는 코중량 격자이고 W는 웨일 군이다.
• 경계 조건 카테고리를 특정 진공으로 제한하는 것은 관련된 dg 카테고리에 특이 지지 조건을 도입하는 것으로 해석된다.
• 진공 0으로 제한된 경계 조건 카테고리는 아린킨과 게이츠고리가 정의한 G에 대한 기하학적 랑글랜드 카테고리와 동치이다.
• 더 큰 스트라타(즉, h*/W에서의 0이 아닌 점들에 해당하는) 진공으로 제한할 경우, 리 하위군으로의 게이지 대칭 붕괴가 일어난 기하학적 랑글랜드 카테고리와 동치인 카테고리가 얻어진다.
• 모든 GLn에 대해 n ≥ 1인 경우 이러한 제한된 카테고리의 합집합은 전체 기하학적 랑글랜드 대칭을 캐릭터라이즈하는 인자화 대수의 구조를 형성할 것으로 추측된다.