[논문 리뷰] A physically-consistent, flexible and efficient strategy to convert local boundary conditions into nonlocal volume constraints

Marta D’Elia, Xiaochuan Tian외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 10.

Numerical methods in engineering참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 표면 기반 국소 경계 조건을 비국소 모델의 체적 비국소 체적 제약 조건으로 변환하는 물리적으로 일관되고 유연하며 계산적으로 효율적인 방법을 제안한다. 비국소성의 영향이 사라질 때 에너지 및 $L^2$ 노름에서 두 번째 순서 수렴을 보장하며, 기하학적, 차원적, 정규성 제약 조건 없이, 문제 당 단일 비국소 해법만 필요하다.

ABSTRACT

Nonlocal models provide exceptional simulation fidelity for a broad spectrum of scientific and engineering applications. However, wider deployment of nonlocal models is hindered by several modeling and numerical challenges. Among those, we focus on the nontrivial prescription of nonlocal boundary conditions, or volume constraints, that must be provided on a layer surrounding the domain where the nonlocal equations are posed. The challenge arises from the fact that, in general, data are provided on surfaces (as opposed to volumes) in the form of force or pressure data. In this paper we introduce an efficient, flexible and physically consistent technique for an automatic conversion of surface (local) data into volumetric data that does not have any constraints on the geometry of the domain and on the regularity of the nonlocal solution and that is not tied to any discretization. We show that our formulation is well-posed and that the limit of the nonlocal solution, as the nonlocality vanishes, is the local solution corresponding to the available surface data. Quadratic convergence rates are proved for the strong energy and L-2 convergence. We illustrate the theory with one dimensional numerical tests whose results provide the ground work for realistic simulations.

연구 동기 및 목표

• 비국소 모델링에서 표면 데이터(예: 힘 또는 압력)만 제공될 때 비국소 체적 제약 조건을 설정하는 데 도전하는 문제를 해결하기 위해.
• 물리적으로 일관되고 계산적으로 효율적이며 임의의 기하학과 차원에 적용 가능한 방법을 개발하기 위해.
• 비국소성 파rameter가 0으로 수렴할 때 비국소 해가 해당 국소 PDE 해로 수렴하도록 보장하기 위해.
• 비국소 해의 높은 정규성 조건이 필요 없이 에너지 및 $L^2$ 노름에서 두 번째 순서 수렴을 달성하기 위해.
• 공간 이산화에 의존하지 않으며, 표준 PDE 및 비국소 해법기를 블랙박스로 사용할 수 있는 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 비국소 영역 층 내에서 수정된 체적 힘 분포를 사용하여 표면 경계 자료의 체적 연장 방식을 도입한다.
• 물리적으로 타당한 변환을 통해 표면 자료에서 유도된 체적 제약 조건을 갖춘 비국소 문제를 수립하며, 이는 국소 PDE로의 渐진적 극한을 유지한다.
• 변분 형식을 사용하여 문제의 잘 정의됨과 안정성을 보장하며, 표면 자료를 도메인 내로 일관되게 끌어올리는 방식으로 체적 제약 조건을 유도한다.
• 가우스키 분할 유한요소 이산화를 사용하여 방법을 구현하며, 비국소 연산자는 유계 지지 집합을 가진 커널 함수로 정의된다.
• 표준 비국소 및 PDE 해법기를 블랙박스로 사용할 수 있도록 하여 복잡한 결합 또는 최적화 절차를 피한다.
• 형식이 잘 정의되어 있으며, 비국소성이 사라지는 극한에서 국소 해로 수렴함을 보여주며, 이는 渐진적 일관성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적 또는 차원적 제약 없이 표면 기반 경계 자료를 물리적으로 일관된 비국소 체적 제약 조건으로 변환할 수 있는가?
• RQ2 비국소 영역이 0으로 수렴할 때 제안된 방법이 에너지 및 $L^2$ 노름에서 두 번째 순서 수렴을 달성하는가?
• RQ3 이 방법을 통해 구한 비국소 해가 비국소성이 사라지는 극한에서 해당 국소 PDE 해와 일관하는가?
• RQ4 비국소 해의 높은 정규성이 필요 없이 비연속적이거나 불규칙한 영역에 이 방법을 적용할 수 있는가?
• RQ5 정확성과 물리적 일관성을 유지하면서도 계산 효율성을 유지하는가?

주요 결과

• 비국소 영역 파rameter $\varepsilon$가 0으로 수렴할 때, 국소 해가 $C^4$에 속한다고 가정할 경우, 제안된 방법이 에너지 노름 및 $L^2$ 노름에서 두 번째 순서 수렴을 달성한다.
• 수치 결과는 네이만 및 딜레르트 접근 모두에서 제곱 수렴률을 보이며, 에너지 및 $L^2$ 노름에서 관측된 수렴 차수는 약 2.0에 가깝다.
• 모든 테스트된 $\varepsilon$ 및 $h$ 값에서 딜레르트 기반 접근이 네이만 기반 접근보다 낮은 오차를 보이며, 더 높은 정확성을 나타낸다.
• 해상도 수준 $h$와 영역 크기 $\varepsilon$에 관계없이 방법이 견고하며, $h = \varepsilon^2$ 또는 $h = \varepsilon/4$로 동시에 정밀화해도 수렴이 유지된다.
• 형식이 잘 정의되어 있으며, $\varepsilon \to 0$ 극한에서 비국소 해가 국소 PDE 해로 수렴함을 보장하여 渐진적 일관성을 확보한다.
• 계산 비용은 단일 비국소 시뮬레이션과 동일하여, 최적화 기반 대안 대비 매우 효율적이다.