[논문 리뷰] A PICARD-S HYBRID TYPE ITERATION METHOD FOR SOLVING A DIFFERENTIAL EQUATION WITH RETARDED ARGUMENT

Vatan Karakaya|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 11.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 37인용 수 36

한 줄 요약

이 논문은 수축 사상의 고정점을 근사하기 위한 새로운 반복적 방법인 Picard-S 반복법을 소개한다. 이 방법은 Picard, Mann, Ishikawa, Noor, SP, CR, S 및 기타 기존 반복법보다 수렴 속도가 더 빠르며, 수렴 속도에서 동등성과 열등성을 입증한다. 이 방법은 지연된 항을 가진 미분방정식을 해결하는 데에도 응용되었고, 고정점에 대한 데이터 의존성 결과도 포함되어 있다.

ABSTRACT

We introduce a new iteration method what is called Picard-S itera- tion. We show that the Picard-S iteration method can be used to approximate fixed point of contraction mappings. Also, we show that our new iteration method is equivalent and converges faster than CR iteration method for the aforementioned class of mappings. Furthermore, by providing an example, it is shown that the Picard-S iteration method converges faster than all of Picard, Mann, Ishikawa, Noor, SP, CR, S and some other iteration methods in the existing literature when applied to contraction mappings. A data dependence result is proven for fixed point of contraction mappings with help of the new iteration method. Finally, we show that the Picard-S iteration method can be used to solve differential equations with retarded argument.

연구 동기 및 목표

• 수축 사상의 고정점을 근사하기 위한 새로운 반복 방법—Picard-S—을 개발하기 위해.
• 이론적 수렴성을 확립하고 기존 반복 기법들과의 수렴 속도를 비교하기 위해.
• 이 방법이 지연된 항을 가진 미분방정식을 풀이하는 데 적용 가능함을 보여주기 위해.
• 새로운 반복 프레임워크를 사용하여 고정점에 대한 데이터 의존성 결과를 증명하기 위해.
• 수치적 비교를 통해 Picard-S가 알려진 반복 방법들보다 열등함을 검증하기 위해.

제안 방법

• Picard-S 반복은 Picard 반복과 S 반복의 특징을 융합한 하이브리드 형식의 반복 체계로 정의된다.
• 이 방법은 완비 거리공간 내의 수축 사상에 적용되어 유일한 고정점으로 수렴함을 보장한다.
• 표준 수축 사상 원리와 비교 기법을 사용하여 수렴 분석을 수행한다.
• Picard, Mann, Ishikawa, Noor, SP, CR, S 및 기타 알려진 반복법과의 수치적 비교를 통해 이 방법의 수렴 속도를 평가한다.
• Picard-S 반복을 사용하여 고정점의 안정성 분석을 통해 작은 변화에 대한 고정점의 민감도를 분석함으로써 데이터 의존성 결과를 도출한다.
• 지연된 항을 가진 미분방정식을 고정점 문제로 재구성함으로써 이 방법을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Picard-S 반복법이 수축 사상의 고정점으로 수렴함을 증명할 수 있는가?
• RQ2 Picard, Mann, Ishikawa, Noor, SP, CR, S 등의 기존 반복 기법들과 비교할 때 Picard-S 방법의 수렴 속도는 어떻게 되는가?
• RQ3 수축 사상에 적용했을 때, Picard-S 반복법이 언급된 모든 기법보다 더 빠른 수렴을 보여주는가?
• RQ4 Picard-S 반복법을 지연된 항을 가진 미분방정식을 풀이하는 데 사용할 수 있는가?
• RQ5 Picard-S 반복을 통해 계산된 고정점의 변화에 대한 데이터 의존성 행동은 어떠한가?

주요 결과

• Picard-S 반복법은 완비 거리공간 내의 수축 사상의 고정점으로 수렴한다.
• 수축 사상에 대해 Picard-S 반복법은 CR 반복법보다 더 빠른 수렴 속도를 보인다.
• 수치적 증거에 따르면, Picard-S 반복법은 Picard, Mann, Ishikawa, Noor, SP, CR, S 및 기타 알려진 반복 기법보다 더 빠른 수렴 속도를 보인다.
• 데이터 의존성 결과가 확립되어, Picard-S 반복을 통해 계산된 고정점이 작은 변화에 대해 안정적임을 보여준다.
• 지연된 항을 가진 미분방정식을 고정점 문제로 변환함으로써 이 방법이 성공적으로 적용되었다.
• Picard-S 반복법은 수렴의 동등성은 CR 반복법과 동일하지만, 수렴 속도에서는 열등함이 증명되었다.