[논문 리뷰] A PIE Representation of Coupled 2D PDEs and Stability Analysis using LPIs

Declan S. Jagt, Matthew M. Peet|arXiv (Cornell University)|2021. 09. 14.

Numerical methods for differential equations참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 결합된 2차원 선형 PDE에 대한 부분적 분할방정식(PIE) 표현을 제안하며, 기존 1차원 시스템에 적용된 PIE 프레임워크를 두 개의 공간 차원으로 확장한다. L₂[x,y] 위에서 부분적 분할(PI) 연산자에 대한 미적분학을 구성함으로써, 저자들은 PIE 해와 원래 PDE 해 사이의 일대일 대응을 수립하여, 선형 PI 부등식(LPI)을 통한 볼록 최적화 기반 안정성 분석이 가능하게 한다. 이는 2차원 열기구 방정식과 파동 방정식에 대해 낮은 비일관성으로 입증된다.

ABSTRACT

We introduce a Partial Integration Equation (PIE) representation of Partial Differential Equations (PDEs) in two spatial variables. PIEs are an algebraic state-space representation of infinite-dimensional systems and have been used to model 1D PDEs and time-delay systems without continuity constraints or boundary conditions -- making these PIE representations amenable to stability analysis using convex optimization. To extend the PIE framework to 2D PDEs, we first construct an algebra of Partial Integral (PI) operators on the function space L_2[x,y], providing formulae for composition, adjoint, and inversion. We then extend this algebra to R^n x L_2[x] x L_2[y] x L_2[x,y] and demonstrate that, for any suitable coupled, linear PDE in 2 spatial variables, there exists an associated PIE whose solutions bijectively map to solutions of the original PDE -- providing conversion formulae between these representations. Next, we use positive matrices to parameterize the convex cone of 2D PI operators -- allowing us to optimize PI operators and solve Linear PI Inequality (LPI) feasibility problems. Finally, we use the 2D LPI framework to provide conditions for stability of 2D linear PDEs. We test these conditions on 2D heat and wave equations and demonstrate that the stability condition has little to no conservatism.

연구 동기 및 목표

• 기존 1차원 PDE 및 시간 지연 시스템에 사용된 PIE 프레임워크를 두 개의 공간 차원으로 확장하기.
• L₂[x,y] 위에서 부분적 분할(PI) 연산자에 대한 복합, 수반, 역행 연산을 포함한 포괄적인 대수를 개발하기.
• 2차원 PDE의 해와 그에 해당하는 PIE 표현 간의 일대일 대응을 수립하기.
• 최적화를 위해 양의 행렬을 사용하여 2차원 PI 연산자의 볼록 쌍대체를 매개변수화하기.
• 2차원 선형 PDE에 대해 최소한의 비일관성을 갖는 LPI 기반 안정성 조건을 유도하고 검증하기.

제안 방법

• L₂[x,y] 함수 공간 위에서 PI 연산자의 대수를 구성하여 복합, 수반, 역행 연산을 정의하기.
• 결합된 2차원 PDE를 수용하기 위해 PI 연산자 대수를 Rⁿ × L₂[x] × L₂[y] × L₂[x,y]로 확장하기.
• 적절한 결합된 선형 2차원 PDE가 명시적인 해 변환 공식을 갖는 등가의 PIE 표현을 가짐을 보여주기.
• 최적화를 위해 양의 행렬을 사용하여 2차원 PI 연산자의 볼록 쌍대체를 매개변수화하기.
• 2차원 PDE의 안정성 조건을 도출하기 위해 선형 PI 부등식(LPI) 타당성 문제를 설정하기.
• 볼록 최적화 기법을 사용하여 2차원 열기구 및 파동 방정식의 안정성 분석에 LPI 프레임워크를 적용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1D 시스템에서의 PIE 프레임워크는 다수의 공간 변수를 가진 2차원 PDE로 확장될 수 있는가?
• RQ2 두 개의 공간 차원에서 PI 연산자의 복합 및 역행 연산을 지배하는 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 결합된 2차원 PDE의 해와 그에 해당하는 PIE 표현 간에 일대일 대응이 존재하는가?
• RQ4 최적화 기반 분석을 위해 2차원 PI 연산자의 볼록 쌍대체는 어떻게 매개변수화할 수 있는가?
• RQ5 2차원 선형 PDE에 대해 유도된 LPI 기반 안정성 조건의 비일관성은 어느 정도인가?

주요 결과

• 논문은 L₂[x,y] 위에서 PI 연산자의 완전한 대수를 성공적으로 구성하여, PIE 형태로 2차원 PDE를 체계적으로 다룰 수 있게 하였다.
• 원래의 2차원 PDE와 그에 해당하는 PIE 표현 간의 일대일 해 매핑이 수립되어 등가성이 보장되었다.
• 2차원 PI 연산자의 볼록 쌍대체는 양의 행렬을 사용하여 매개변수화되어, 안정성 분석을 위한 볼록 최적화가 가능해졌다.
• 2차원 열기구 및 파동 방정식에 대해 테스트한 결과, LPI 기반 안정성 조건이 거의 또는 전혀 비일관성이 없음을 입증하였다.
• 이 프레임워크는 연속성 제약 조건이나 명시적 경계 조건을 요구하지 않아 적용 범위가 넓어졌다.