[논문 리뷰] A piecewise contractive dynamical system and election methods

Svante Janson, Anders Öberg|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 19.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 단위구간에서 불연속성을 가진 조각별 수축 동역계를 분석하여, 비예외적 매개변수에서는 보편적인 한 주기 궤도가 존재함을 증명하고, 예외적 매개변수 집합이 하우스도르프 차원 1을 가지며 특정 게이지 함수 하에 유한 측도를 가짐을 보여준다. 이 결과들은 프라그멘의 및 티엘의 다수의원 선거 방법에 적용되어, 프라그멘의 방법은 극한에서 유리수 의석 비율을 얻는다(매우 작은 집합을 제외하고), 반면 티엘의 방법은 무리수 극한을 얻을 수 있어 일반적인 주기성이 없음을 시사한다.

ABSTRACT

We prove some basic results for a dynamical system given by a piecewise linear and contractive map on the unit interval that takes two possible values at a point of discontinuity. We prove that there exists a universal limit cycle in the non-exceptional cases, and that the exceptional parameter set is very tiny in terms of gauge functions. The exceptional two-dimensional parameter is shown to have Hausdorff-dimension one. We also study the invariant sets and the limit sets; these are sometimes different and there are several cases to consider. In addition, we give a thorough investigation of the dynamics; studying the cases of rational and irrational rotation numbers separately, and we show the existence of a unique invariant measure. We apply some of our results to a combinatorial problem involving an election method suggested by Phragmén and show that the proportion of elected seats for each party converges to a limit, which is a rational number except for a very small exceptional set of parameters. This is in contrast to a related election method suggested by Thiele, which we study at the end of this paper, for which the limit can be irrational also in typical cases and hence there is no typical ultimate periodicity as in the case of Phragmén's method.

연구 동기 및 목표

• 구간 [0,1]에서 불연속성이 있는 조각별 선형 수축 사상의 동역학을 연구하기 위해.
• 시스템의 불변집합, 극한집합, 그리고 회전수를 특성화하고, 특히 유리수와 무리수의 경우를 구분하기 위해.
• 예외적 매개변수 집합—즉, 회전수가 무리수인 경우—가 하우스도르프 차원 1을 가지며, 게이지 함수 h(t) = 1/|log t|² 하에 유한 측도를 가짐을 증명하기 위해.
• 동역계 결과를 프라그멘의 및 티엘의 다수의원 투표 방법에 적용하여 의석 비율의 수렴성을 분석하기 위해.
• 프라그멘의 방법이 거의 모든 곳에서 유리수 극한 의석 비율을 얻는 반면, 티엘의 방법은 무리수 극한을 얻을 수 있음을 보여주어 일반적인 주기성이 없음을 시사하기 위해.

제안 방법

• 시스템은 두 함수로 정의된다: f₋(x) = {ax + b}와 f₊(x) = {ax + b}₊, 여기서 후자는 ax + b가 정수일 때 0 대신 1을 취함으로써 불연속성을 유도한다.
• 기호 역학을 사용하여 실수선으로 올리고, 궤도 평균을 통해 회전수를 정의하며, 모든 궤도에 대해 그 존재성과 수렴성을 증명한다.
• 논문은 게이지 함수와 하우스도르프 측도를 사용하여 예외적 매개변수 집합의 크기를 정량화하며, h(t) = 1/|log t|² 하에 유한 측도임을 보이고, h(t) = 1/|log t| 하에 양의 측도임을 보인다.
• 유일한 불변 측도가 존재함을 증명하고, 주기성과 불연속성 포함 여부에 따라 궤도를 분류한다.
• 선거 방법 적용에서는 동역계를 의석 배분에 매핑한다: 각 반복이 의석 배정에 해당하고, 궤도 점의 수렴이 안정된 의석 비율에 해당한다.
• 프라그멘의 방법의 경우, 매개변수 집합에서 하우스도르프 차원 1을 가지는 집합을 제외하고는 각 정당의 의석 비율이 유리수 극한으로 수렴함을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불연속성을 가진 조각별 수축 동역계는 비예외적 경우에 보편적인 한 주기 궤도를 갖는가?
• RQ2 회전수가 무리수인 매개변수 집합의 하우스도르프 차원과 측도는 무엇인가?
• RQ3 이 동역계는 어떻게 프라그멘의 및 티엘의 다수의원 선거 방법을 모델링하며, 의석 비율의 극한은 무엇인가?
• RQ4 프라그멘의 방법에서 의석 비율의 극한이 무리수일 수 있는가, 아니면 항상 유리수인가?
• RQ5 티엘의 방법은 의석 배분에서 일반적인 주기성을 보이는가, 아니면 일반적인 경우에도 극한이 무리수일 수 있는가?

주요 결과

• 비예외적 경우에 시스템은 보편적인 한 주기 궤도를 가지며, 이는 모든 궤도가 동일한 주기 궤도로 수렴함을 의미한다.
• 예외적 매개변수 집합—즉, 회전수가 무리수인 경우—는 하우스도르프 차원 1을 가지며, 게이지 함수 h(t) = 1/|log t|² 하에 유한 하우스도르프 측도를 가진다.
• 게이지 함수 h(t) = 1/|log t| 하에, 무리수 회전수를 가진 매개변수 집합은 양의 하우스도르프 측도를 가지며, 이는 집합이 임의로 작지 않음을 시사한다.
• 프라그멘의 방법의 경우, 각 정당의 의석 비율은 극한에서 유리수로 수렴한다. 다만 하우스도르프 차원 1을 가지는 매개변수 집합을 제외하고는 그렇다.
• 반면, 티엘의 방법은 일반적인 매개변수 조건에서도 무리수 극한 의석 비율을 얻을 수 있어 일반적인 궤도의 주기성이 없음을 시사한다.
• 논문은 시스템에 대해 유일한 불변 측도가 존재함을 증명하였으며, 이는 장기적인 통계적 행동을 이해하는 데 핵심적이다.