[논문 리뷰] A polarized view of string topology

Ralph L. Cohen, Véronique Godin|ArXiv.org|2003. 02. 28.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 47

한 줄 요약

이 논문은 거의 복소다양체의 자유 루프 공간에 대해 '극성화된 아티야 쌍대'를 도입하여, 닫힌 표면을 포함한 모든 표면에 대해 완전한 두 차원의 양자 위상론적 양자장이론(TQFT)을 지원하는 일반화된 호모로지 이론을 가능하게 한다. 표준 루프 공간 호모로지가 쌍대원소가 없는 단위원소와 교환법칙을 만족하는 프로베누스 대수임을 보이며, 이는 양의 경계 TQFT에 해당한다. 이에 따라 루프 공간의 접다발을 필터링함으로써 쌍대원소를 정의하는 데 발생하는 장애를 극복하기 위해 프로스펙트럼을 구성한다.

ABSTRACT

Let M be a closed, connected manifold, and LM its loop space. In this paper we describe closed string topology operations in h_*(LM), where h_* is a generalized homology theory that supports an orientation of M. We will show that these operations give h_*(LM) the structure of a unital, commutative Frobenius algebra without a counit. Equivalently they describe a positive boundary, two dimensional topological quantum field theory associated to h_*(LM). This implies that there are operations corresponding to any surface with p incoming and q outgoing boundary components, so long as q >0. The absence of a counit follows from the nonexistence of an operation associated to the disk, D^2, viewed as a cobordism from the circle to the empty set. We will study homological obstructions to constructing such an operation, and show that in order for such an operation to exist, one must take h_*(LM) to be an appropriate homological pro-object associated to the loop space. Motivated by this, we introduce a prospectrum associated to LM when M has an almost complex structure. Given such a manifold its loop space has a canonical polarization of its tangent bundle, which is the fundamental feature needed to define this prospectrum. We refer to this as the "polarized Atiyah - dual" of LM . An appropriate homology theory applied to this prospectrum would be a candidate for a theory that supports string topology operations associated to any surface, including closed surfaces.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 호모로지 이론이 표준 루프 공간 호모로지에서 쌍대원소가 없기 때문에 발생하는 장애를 극복하여, 닫힌 표면을 포함한 모든 표면에 대해 스트링 토폴로지 연산을 지원하도록 구성하는 것.
• 거의 복소다양체의 자유 루프 공간에 대해 접다발의 자연스러운 극성화를 이용하여 새로운 '극성화된 아티야 쌍대' 프로스펙트럼을 정의하는 것.
• 호모로지 장애를 해결하여 $h_*(LM)$의 프로베누스 대수에서 쌍대원소의 존재를 방해하는 장애를 제거하는 것. 이는 완전한 TQFT를 가능하게 한다.
• 표면의 $p$개의 들어오는 경계와 $q$개의 나가는 경계를 가진 표면에 대해, 비퇴화된 쌍대형과 유사한 쌍대형을 지원하는 '반무한' 또는 '중간 차원' 호모로지 이론의 프레임워크를 구축하는 것.
• 타우머 콜라프스 맵과 지글라인 그래프 매개변수화를 사용하여, $p$개의 들어오는 경계와 $q \geq 1$개의 나가는 경계를 가진 표면에 대해 TQFT 연산을 체계적으로 구성하는 것.

제안 방법

• 표면 $\Sigma$에 관련된 지글라인 그래프 $\Gamma_\Sigma$를 사용하여 $\Gamma_\Sigma$에서 $M$으로의 사상들을 매개변수화하고, 이러한 사상들의 공간을 $(LM)^p$에 매립한다.
• 사상 공간 $\text{Map}(\Gamma_\Sigma, M)$의 유한 codimension 매립에 대해 타움 콜라프스 맵을 구성함으로써 호모로지에서의 푸시포워드를 가능하게 한다.
• TQFT 연산 $\mu_\Sigma$를 푸시포워드와 외부 경계 성분으로의 제약 조건 $\rho_{\text{out}}: \text{Map}(\Gamma_\Sigma, M) \to (LM)^q$의 조합으로 정의한다.
• 루프 $\gamma$와 부분공간 $W \subset T_\gamma(LM)$에 대해 $z^{-j}W \cap (z^{-i}W)^\perp$로 정의되는 $S^1$-등변 부분다발 $E_{i,j}$를 사용하여 $p^*(TLM) \to LM_\pm$의 필터링을 구성한다.
• 구조 맵이 다원의 포함에 의해 유도되는 $ (LM_\pm)^{-E_{i,j}} $의 타움 스펙트럼의 역체계를 통해 $S^1$-등변 스펙트럼에서의 프로객체로서 극성화된 아티야 쌍대를 구성한다.
• 이 프로스펙트럼에 등변 호모로지 이론을 적용하여, 특히 오르소곤럴 보조다발의 올레어 클래스가 가역이 되는 조건을 분석함으로써, 닫힌 표면에서의 연산을 지원하는 후보 이론을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 호모로지 이론 $h_*$에 대해 $h_*(LM)$의 프로베누스 대수에서 쌍대원소의 존재를 방해하는 장애는 무엇인가?
• RQ2 표준 루프 공간 호모로지에서 쌍대원소가 없기 때문에 발생하는 장애를 극복하여, 디스크를 $S^1$에서 $\emptyset$로의 코버디즘으로 포함하는 닫힌 표면에 대해 스트링 토폴로지 연산을 지원하는 일반화된 호모로지 이론을 구성할 수 있는가?
• RQ3 거의 복소다양체의 루프 공간 $LM$의 접다발의 자연스러운 극성화를 어떻게 이용하여, 완전한 TQFT 연산을 지원하는 새로운 프로스펙트럼을 정의할 수 있는가?
• RQ4 표면의 $S^1$-등변 필터링 $E_{i,j} \subset p^*(TLM)$는 $LM$에서의 반무한 또는 중간 차원 호모로지 이론을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 등변 코호모로지 이론에서, 필터링의 수직보조다발의 올레어 클래스가 단위원소가 되는 조건은 무엇인가? 이는 완전한 TQFT를 가능하게 한다.

주요 결과

• 표준 루프 공간 호모로지 $h_*(LM)$가 일반화된 호모로지 이론 $h_*$에 의해 방향성을 지닌다 하더라도, 쌍대원소가 없는 단위원소와 교환법칙을 만족하는 프로베누스 대수임을 보이며, 이는 양의 경계 TQFT에 해당한다.
• 지글라인 그래프 매개변수화와 연관된 타움 콜라프스 맵을 통해, $p$개의 들어오는 경계와 $q \geq 1$개의 나가는 경계를 가진 임의의 표면 $\Sigma$에 대해 스트링 토폴로지 연산이 구성된다.
• $h_*(LM)$에서 쌍대원소의 부재는 디스크 $D^2$를 $S^1$에서 $\emptyset$로의 코버디즘으로 사용할 수 없기 때문에 발생하는 장애로, 이는 다른 호모로지 프레임워크가 필요함을 의미한다.
• $S^1$-등변 접다발 $p^*(TLM) \to LM_\pm$에 대해 $E_{i,j} = z^{-j}W \cap (z^{-i}W)^\perp$로 정의되는 부분다발을 사용하여 필터링을 구성하며, 이는 밀도 있고 증가하는 필터링이며, 유한차원 부분몫공간을 가진다.
• $E_{i-1,j}/E_{i,j}$와 $E_{i,j+1}/E_{i,j}$는 $\tilde{p}^*(TM)$과 등변적이지 않은 동형을 가지며, 여기서 $\tilde{p}: LM_\pm \to M$은 루프를 기저점에서 평가하는 것이다.
• 극성화된 아티야 쌍대는 $ (LM_\pm)^{-E_{i,j}} $의 타움 스펙트럼의 역체계를 통해 $S^1$-등변 스펙트럼에서의 프로객체로 정의되며, 이는 다원 포함에 의해 유도되는 구조 맵을 가진다.