[논문 리뷰] A Polynomial Degree Bound on Equations for Non-Rigid Matrices and Small Linear Circuits

Mrinal Kumar, Ben Lee Volk|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 2인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 비강성 행렬과 소규모 선형 회로를 정의하는 방정식에 대해 다항식 차수의 상한을 확립하여, Gesmundo 등이 제기한 추측을 해결한다. 비강성 행렬이 차수 최대 $n^3$인 영이 아닌 다항식을 만족함을 보여, 이는 이전의 지수적 상한에 비해 크게 향상된 결과이다. 증명은 Shpilka와 Volkovich의 저차수 다항식 사상과 차원 수세기의 조합을 사용하며, 다항식 항등식 테스팅의 비확률화로부터 새로운 회로 하한을 이끌어낸다.

ABSTRACT

We show that there is an equation of degree at most poly(n) for the (Zariski closure of the) set of the non-rigid matrices: that is, we show that for every large enough field 𝔽, there is a non-zero n²-variate polynomial P ∈ 𝔽[x_{1, 1}, …, x_{n, n}] of degree at most poly(n) such that every matrix M which can be written as a sum of a matrix of rank at most n/100 and a matrix of sparsity at most n²/100 satisfies P(M) = 0. This confirms a conjecture of Gesmundo, Hauenstein, Ikenmeyer and Landsberg [Fulvio Gesmundo et al., 2016] and improves the best upper bound known for this problem down from exp(n²) [Abhinav Kumar et al., 2014; Fulvio Gesmundo et al., 2016] to poly(n). We also show a similar polynomial degree bound for the (Zariski closure of the) set of all matrices M such that the linear transformation represented by M can be computed by an algebraic circuit with at most n²/200 edges (without any restriction on the depth). As far as we are aware, no such bound was known prior to this work when the depth of the circuits is unbounded. Our methods are elementary and short and rely on a polynomial map of Shpilka and Volkovich [Amir Shpilka and Ilya Volkovich, 2015] to construct low degree "universal" maps for non-rigid matrices and small linear circuits. Combining this construction with a simple dimension counting argument to show that any such polynomial map has a low degree annihilating polynomial completes the proof. As a corollary, we show that any derandomization of the polynomial identity testing problem will imply new circuit lower bounds. A similar (but incomparable) theorem was proved by Kabanets and Impagliazzo [Valentine Kabanets and Russell Impagliazzo, 2004].

연구 동기 및 목표

• 비강성 행렬에 대한 저차수 방정식의 존재를 제안한 Gesmundo, Hauenstein, Ikenmeyer, Landsberg의 추측을 해결하기 위해.
• 깊이 제약 없이도 소규모 선형 회로로 계산 가능한 행렬에 대해, 그 정의 방정식의 차수에 대한 다항식 상한을 확립하기 위해.
• 다항식 항등식 테스팅(PIT)의 비확률화가 선형 회로 또는 강성 행렬에 대해 새로운 회로 하한을 이끌어내는 지 확인하기 위해.

제안 방법

• Shpilka와 Volkovich의 저차수 다항식 사상 기반으로 비강성 행렬과 소규모 선형 회로에 대한 보편적 매개변수화를 구성하기 위해.
• 차원 수세기의 추론을 적용하여, 이러한 다항식 사상이 반드시 저차수의 소멸 다항식을 가져야 함을 보여주기 위해.
• 저차수 매개변수화의 존재를 이용해 비강성 행렬의 다양체에 대해 차수 최대 $n^3$인 비자명한 다항식 방정식을 유도하기 위해.
• 깊이 제약 없이도 소규모 선형 회로로 계산 가능한 행렬의 다양체에 대해 유사한 차수 상한을 증명하기 위해.
• 방정식을 찾는 문제를 차원 $\exp(\text{poly}(n))$인 공간 위의 선형 시스템으로 환원하여 PSPACE 구축 가능성을 확보하기 위해.
• 다항식 크기를 유지하면서 효율적인 평가를 가능하게 하는 거의 최소 깊이(Almost-MD) 회로로의 변환을 사용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Gesmundo 등이 제안한 바와 같이, 비강성 행렬을 정의하는 방정식의 차수는 $n$에 대한 다항식으로 유계화될 수 있는가?
• RQ2 회로 깊이가 유계되지 않은 경우에도, 소규모 선형 회로로 계산 가능한 행렬의 다양체에 대해 다항식 차수의 방정식이 존재하는가?
• RQ3 다항식 항등식 테스팅(PIT)의 비확률화가 선형 회로 또는 강성 행렬에 대해 새로운 회로 하한을 이끌어내는가?

주요 결과

• 논문은 비강성 행렬의 다양체(즉, $(\varepsilon n, \varepsilon n^2)$-강성 행렬이 아닌 것들)가 차수 최대 $n^3$인 영이 아닌 다항식에 의해 정의됨을 증명하며, Gesmundo 등이 제기한 추측을 확인한다. 이는 이전의 지수적 상한에 비해 근본적인 향상이다.
• 깊이 제약 없이도 크기가 $n^2/200$ 이하인 선형 회로로 계산 가능한 행렬의 다양체에 대해 유사한 다항식 차수 상한이 확립되었으며, 이는 이전까지 알려지지 않은 결과이다.
• 이 구축은 $1^n$을 입력으로 받는 PSPACE 알고리즘을 제공하며, 이 알고리즘은 비강성 행렬에 대한 차수 $n^3$의 방정식 계수를 출력한다.
• 만약 다항식 항등식 테스팅(PIT)이 P에 속한다면, 또는 PSPACE에서 하드 다항식을 구성할 수 있으며, 또는 NP 오рак루를 사용해 크기 $\Omega(n^2)$인 선형 회로가 필요한 행렬을 구성할 수 있다.
• 결과적으로 PIT의 비확률화는 항상 새로운 회로 하한을 이끌어내며, 비확률화와 복잡도 이론 간의 관계를 강화한다.
• 이 방법은 텐서 랭크에도 적용 가능하며, PIT ∈ P일 경우 PSPACE에서 하드 텐서가 존재하거나, NP 오라클을 사용해 효율적으로 구성 가능하다는 것을 보여준다.