[논문 리뷰] A Polynomial Time Bounded-error Quantum Algorithm for Boolean Satisfiability

Ahmed Younes, Jonathan E. Rowe|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 BQP에서 다항 시간 내에 오차를 가진 양자 알고리즘을 제안하며, MAX-E3-SAT 문제에 대해 반복적인 부분 부정과 부분 측정을 사용하여 만족된 절차 수가 가장 많은 변수 할당의 진폭을 증폭한다. 알고리즘은 $m$ 개의 절차에 대해 $O(m^2)$ 시간 내에 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 성공 확률 $1 - \epsilon$ 을 달성하거나, $n$ 개의 변수에 대해 최악의 경우 $O(n^6)$ 시간 내에 수행되며, 이는 비상대적 환경에서 NP가 BQP에 포함됨을 보여준다.

ABSTRACT

The aim of the paper is to answer a long-standing open problem on the relationship between NP and BQP. The paper shows that BQP contains NP by proposing a BQP quantum algorithm for the MAX-E3-SAT problem which is a fundamental NP-hard problem. Given an E3-CNF Boolean formula, the aim of the MAX-E3-SAT problem is to find the variable assignment that maximizes the number of satisfied clauses. The proposed algorithm runs in $O(m^2)$ for an E3-CNF Boolean formula with $m$ clauses and in the worst case runs in $O(n^6)$ for an E3-CNF Boolean formula with $n$ inputs. The proposed algorithm maximizes the set of satisfied clauses using a novel iterative partial negation and partial measurement technique. The algorithm is shown to achieve an arbitrary high probability of success of $1-ε$ for small $ε>0$ using a polynomial resources. In addition to solving the MAX-E3-SAT problem, the proposed algorithm can also be used to decide if an E3-CNF Boolean formula is satisfiable or not, which is an NP-complete problem, based on the maximum number of satisfied clauses.

연구 동기 및 목표

• NP가 BQP에 포함되는지 여부에 대한 오랫동안 열려 있던 문제를 해결하기 위해.
• 제한된 자원을 사용하여 MAX-E3-SAT를 다항 시간 내에 오차를 가진 채로 해결하는 구체적인 양자 알고리즘을 제공하기 위해.
• E3-SAT와 같은 NP-완전 문제들이 높은 확률로 양자 계산을 통해 결정될 수 있음을 보여주기 위해.
• 기존의 양자 접근 방식의 한계를 극복하기 위해 표준 유니터리 반복 대신 부분 측정을 사용한 진폭 증폭 기법을 적용하기 위해.

제안 방법

• 알고리즘은 $n$ 큐비트에 하다마드 게이트를 적용하여 모든 $2^n$ 개의 변수 할당의 중첩 상태를 준비한다.
• 각 E3-CNF 절차는 변수 할당과 절차 만족 여부를 나타내는 진술 벡터를 얽히게 하는 GT4 양자 게이트로 표현된다.
• 새로운 진폭 증폭 기법은 만족된 절차의 수에 따라 보조 큐비트에 반복적인 부분 부정을 적용하여 더 나은 해에 대한 진폭을 증가시킨다.
• 부분 측정을 사용하여 상태를 최적의 해 쪽으로 붕괴시키며, 성공 확률을 증폭하기 위해 이 과정을 반복한다.
• 진술 벡터의 1의 밀도를 높이기 위해 더미 절차를 추가하여 최초 측정의 성공 확률을 향상시킨다.
• 알고리즘은 $m$ 개의 절차에 대해 $O(m^2)$ 시간 내에 실행되며, 최악의 경우 $O(n^6)$ 시간에 실행되며, 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 성공 확률 $1 - \epsilon$ 을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 알고리즘이 다항 시간 내에 오차를 가진 채 MAX-E3-SAT를 해결할 수 있는가? 이를 통해 NP가 BQP에 포함될 수 있는가?
• RQ2 진폭 증폭에서 부분 측정을 사용함으로써 표준 유니터리 반복 대비 더 효율적인 해결책을 얻을 수 있는가?
• RQ3 다항 자원만을 사용하여 임의의 높은 성공 확률 $1 - \epsilon$ 을 달성할 수 있는가?
• RQ4 부분 측정을 사용한 양자 진폭 증폭이 E3-CNF 공식에서 만족된 절차 수를 최대화하는 데 가능할 수 있는가?
• RQ5 이 방법을 E3-CNF 공식의 만족 가능성 판단으로 확장할 수 있는가? 즉, 출력 상태에서 모든 $m$ 개의 절차가 만족되는지 확인함으로써.

주요 결과

• 제안된 양자 알고리즘은 $m$ 개의 절차에 대해 $O(m^2)$ 시간 내에 MAX-E3-SAT를 해결하며, $n$ 개의 변수에 대해 최악의 경우 $O(n^6)$ 시간에 실행된다.
• 알고리즘은 다항 수의 큐비트와 연산을 사용하여 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 최소 $1 - \epsilon$ 의 성공 확률을 달성한다.
• 더미 절차의 사용은 진술 벡터의 1 밀도를 높이며, $Pr_{\max} = 0.99$ 일 경우 첫 번째 반복의 성공 확률이 99%를 초과하게 한다.
• 출력 상태에서 모든 $m$ 개의 절차가 만족되는지 확인함으로써 E3-CNF 공식의 만족 가능성 여부를 판단할 수 있다.
• 이 방법은 E$k$-CNF 공식으로 일반화될 수 있으며, $O(n^{2k})$ 번의 반복이 필요하여 3-CNF를 초월한 확장성과 유연성을 보여준다.
• 결과적으로 이는 비상대적 세계에서 NP가 BQP에 포함됨을 시사하며, 일반적으로 BQP가 NP를 포함하지 않는다는 공통된 믿음을 도전한다.