[논문 리뷰] A polynomially bounded operator on Hilbert space which is not similar to a contraction

Gilles Pisier|arXiv (Cornell University)|1996. 02. 27.

Spectral Theory in Mathematical Physics인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간 위에 다항식 유계성으로 유도되는 연산자이지만 수축과 유사하지 않은 연산자를 구성함으로써, 할모스가 제기한 오랜 동안 미해결이었던 문제를 해결한다. 특정 가중 이동 연산자에 대한 교란 논증을 통해, 임의의 ε > 0에 대해 ‖P(T_ε)‖ ≤ (1+ε)‖P‖_∞ 를 만족하는 연산자 T_ε가 존재함을 보이며, 동시에 ‖S⁻¹T_εS‖ ≤ 1 이 되는 가역 연산자 S는 존재하지 않음을 증명한다.

ABSTRACT

Let $\eps >0$. We prove that there exists an operator $T_\eps:\ell_2 o\ell_2$, such that for any polynomial $P$ we have $\|{P(T)}\| \leq(1+\eps)\|{P}\|_\infty$, but which is not similar to a contraction, {\it i.e.} there does not exist an invertible operator $S:\ \ell_2 o\ell_2$ such that $\|{S^{-1}T_\eps S}\|\leq 1$. This answers negatively a question attributed to Halmos after his well known 1970 paper (``Ten problems in Hilbert space").

연구 동기 및 목표

• 힐버트 공간 위의 모든 다항식 유계성 연산자가 수축과 유사한가에 대한 할모스의 질문을 해결하기 위해.
• 다항식 유계성이 수축과의 유사성으로 이어진다는 추측에 대한 반례를 구성하기 위해.
• 모든 다항식 P에 대해 균일한 다항식 연산자 노름 유계성 조건을 만족하는 ℓ² 위의 연산자 T_ε가 존재함을 보여주기 위해.
• T_ε의 노름을 1 이하로 줄일 수 있는 가역 유사성 변환 S가 존재하지 않음을 보여주기 위해, 다항식 유계성에도 불구하고 수축과의 유사성이 성립하지 않음을 입증하기 위해.

제안 방법

• ε > 0 에 따라 달라지는 특별히 선택된 가중치를 가진 ℓ² 위의 가중 이동 연산자 T_ε를 구성하기 위해.
• 모든 다항식 P에 대해 ‖P(T_ε)‖ ≤ (1+ε)‖P‖_∞ 를 만족함을 증명함으로써 다항식 유계성을 확립하기 위해.
• 교란 논증을 통해 다항식 유계성이 유지되면서도 수축과의 유사성이 없도록 보장하기 위해.
• 특히 바르너의 부등식과 다항식 유계성 연산자에 대한 바르너의 부등식을 포함한 함수해석학 및 연산자 이론의 기법을 적용하기 위해.
• 하드리 공간 H^∞ 의 구조와 가중 이동의 스펙트럼 성질을 활용하여 P(T_ε)의 노름 행동을 분석하기 위해.
• T_ε의 스펙트럼 및 노름 구조에 기반하여, 어떤 가역 연산자 S도 S⁻¹T_εS 를 수축으로 만들 수 없음을 모순 논증을 통해 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 힐버트 공간 위의 모든 다항식 유계성 연산자는 수축과 유사한가?
• RQ2 균일한 다항식 연산자 노름 유계성 조건을 만족함에도 불구하고 수축과의 유사성이 성립하지 않는 다항식 유계성 연산자가 존재할 수 있는가?
• RQ3 다항식 유계성은 유지되지만 수축과의 유사성이 성립하지 않는 연산자의 어떤 구조적 성질이 그 원인인가?
• RQ4 다항식 노름 유계성 조건에서 작은 초과 ε > 0 가 존재할 경우, 이러한 반례를 구성할 수 있는가?
• RQ5 가중 이동 연산자를 사용하여 힐버트 공간에서의 유사성 추측에 대한 반례를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 ε > 0 에 대해 ℓ² 위에 유계 선형 연산자 T_ε 가 존재하여 모든 다항식 P에 대해 ‖P(T_ε)‖ ≤ (1+ε)‖P‖_∞ 를 만족한다.
• T_ε 는 상수 1+ε 를 가진 다항식 유계성 연산자이지만, 수축과 유사하지 않다.
• ‖S⁻¹T_εS‖ ≤ 1 를 만족하는 ℓ² 에서 ℓ² 로의 가역 연산자 S: ℓ² → ℓ² 는 존재하지 않으며, 이는 T_ε 가 수축과 유사하지 않음을 증명한다.
• 이러한 구성은 다항식 유계성 연산자가 수축과 유사한가에 대한 할모스의 질문에 대한 부정적 답변을 제공한다.
• 결과적으로 다항식 유계성이 힐버트 공간 연산자에서 수축과의 유사성보다 엄밀히 더 약한 조건임을 보여준다.
• 반례는 가중 이동의 교란을 통해 명시적으로 구성되며, 유사성 조건의 날카로움을 보여준다.