[논문 리뷰] A positive mass theorem in three dimensional Cauchy-Riemann geometry

Jih-Hsin Cheng, Andrea Malchiodi외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 30.

Geometry and complex manifolds인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비가속 평탄한 편평한 헤르미트 3차원 다각형에서 아인슈타인-미드웨이드 질량과 유사한 p-질량을 도입하고, 탄카-웹스터 곡률이 양이며 CR 판에이츠 연산자가 음이 아닌 조건 하에서 그 양성성을 증명한다. 주요 결과는 p-질량이 음이 아니며, 영질량은 표준 CR 3차원 구와 일치함을 보이며, 이는 최소 에너지를 갖는 CR 양라베 문제를 해결하는 데 응용된다.

ABSTRACT

We define an ADM-like mass, called p-mass, for an asymptotically flat pseudohermitian manifold. The p-mass for the blow-up of a compact pseudohermitian manifold (with no boundary) is identified with the first nontrivial coefficient in the expansion of the Green function for the CR Laplacian. We deduce an integral formula for the p-mass, and we reduce its positivity to a solution of Kohn's equation. We prove that the p-mass is non-negative for (blow-ups of) compact 3-manifolds of positive Tanaka-Webster class and with non-negative CR Paneitz operator. Under these assumptions, we also characterize the zero mass case as the standard three dimensional CR sphere. We then show the existence of (non-embeddable) CR 3-manifolds having nonpositive Paneitz operator or negative p-mass through a second variation formula. Finally, we apply our main result to find solutions of the CR Yamabe problem with minimal energy.

연구 동기 및 목표

• 비가속 평탄한 편평한 헤르미트 3차원 다각형에서 아인슈타인-미드웨이드 질량과 유사한 p-질량 불변량을 정의한다.
• 양의 탄카-웹스터 클래스와 음이 아닌 CR 판에이츠 연산자라는 가정 하에서 p-질량의 음이 아닌 성질을 확립한다.
• 영 p-질량의 경우가 표준 3차원 CR 구와 등가임을 특성화한다.
• 두 번째 변동 공식을 통해 음이 아닌 판에이츠 연산자 또는 음의 p-질량을 갖는 임베딩 불가능한 CR 3차원 다각형의 예를 구성한다.
• 양의 p-질량 정리를 이용하여 최소 에너지를 갖는 CR 양라베 문제의 해를 찾는다.

제안 방법

• 비가속 평탄한 편평한 헤르미트 3차원 다각형의 컴act 다각형의 블로우업에서 CR 라플라스 연산자의 그린 함수 전개의 첫 번째 비자명한 계수로 p-질량을 정의한다.
• CR 에인슈타인 텐서의 발산 구조와 코른-크나프-위스 공식을 이용해 p-질량에 대한 적분 공식을 유도한다.
• 일부 (1,1)-형식에 대해 코른의 방정식을 푸는 것으로 p-질량의 양성성을 환원한다.
• 형식의 동차성에 의해 하향하는 부분라플라스 연산자의 공변성을 이용해 p-질량을 탄카-웹스터 곡률과 CR 판에이츠 연산자와 연결한다.
• 두 번째 변동 공식을 적용하여 음이 아닌 판에이츠 연산자 또는 음의 p-질량을 갖는 임베딩 불가능한 CR 3차원 다각형의 예를 구성한다.
• CR 정규 좌표계와 점근적 전개를 이용해 무한대 근처의 접속 형식과 접속 형식의 행동을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 코시-리만 기하학에서 아인슈타인-미드웨이드 질량과 유사한 질량 개념을 정의할 수 있는가?
• RQ2 비가속 평탄한 편평한 헤르미트 3차원 다각형에서 p-질량이 음이 아닌 기하적 조건은 무엇인가?
• RQ3 CR 기하학적으로 영 p-질량의 경우는 무엇으로 특성화되는가?
• RQ4 음의 p-질량 또는 음이 아닌 판에이츠 연산자를 갖는 임베딩 불가능한 CR 3차원 다각형을 구성할 수 있는가?
• RQ5 양의 p-질량 정리는 최소 에너지를 갖는 CR 양라베 문제를 해결하는 데 어떻게 응용될 수 있는가?

주요 결과

• 양의 탄카-웹스터 클래스와 음이 아닌 CR 판에이츠 연산자를 갖는 컴 pact 3차원 편평한 헤르미트 다각형의 블로우업에서 p-질량은 음이 아니다.
• 영 p-질량의 경우는 다각형이 표준 3차원 CR 구와 CR 등가일 때에만 발생한다.
• 두 번째 변동 공식을 통해 음이 아닌 판에이츠 연산자 또는 음의 p-질량을 갖는 임베딩 불가능한 CR 3차원 다각형가 존재한다.
• p-질량은 컴 pact 편평한 헤르미트 3차원 다각형의 블로우업에서 CR 라플라스 연산자의 그린 함수 전개의 첫 번째 비자명한 계수로 식별된다.
• p-질량에 대한 적분 공식은 CR 에인슈타인 텐서의 발산 구조와 코른-크나프-위스 공식에서 유도된다.
• 양의 p-질량 정리는 양라베 몫이 표준 구에 의해 아래로 유계임을 보장함으로써 최소 에너지를 갖는 CR 양라베 문제의 해를 구성하는 데 기여한다.