[논문 리뷰] A positivity-preserving and convergent numerical scheme for the binary fluid-surfactant system

Yuzhe Qin, Cheng Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 16.

Solidification and crystal growth phenomena참고 문헌 61인용 수 26

한 줄 요약

논문은 first-order-in-time convex-splitting scheme for a binary fluid–surfactant phase-field model을 개발하고 고유성, 양성성 보존, 무조건 에너지 안정성 및 최적-속도 수렴성을 증명하며, 뉴턴 반복을 이산 시스템에 적용하고 수치 검증을 수행한다.

ABSTRACT

In this paper, we develop a first order (in time) numerical scheme for the binary fluid surfactant phase field model. The free energy contains a double-well potential, a nonlinear coupling entropy and a Flory-Huggins potential. The resulting coupled system consists of two Cahn-Hilliard type equations. This system is solved numerically by finite difference spatial approximation, in combination with convex splitting temporal discretization. We prove the proposed scheme is unique solvable, positivity-preserving and unconditionally energy stable. In addition, an optimal rate convergence analysis is provided for the proposed numerical scheme, which will be the first such result for the binary fluid-surfactant system. Newton iteration is used to solve the discrete system. Some numerical experiments are performed to validate the accuracy and energy stability of the proposed scheme.

연구 동기 및 목표

• Surfactants를 이용한 계면 역학을 이진 유체-계면활성제 phase-field 프레임워크로 동 모델링하고 동기를 부여한다.
• 밀도 양의성 보존과 이산 수준의 에너지 안정성을 보장하는 수치 스킴을 개발한다.
• 스킴의 고유 해를 보장하고 최적-속도 수렴을 확보한다.
• 완전 이산 시스템에 대해 Newton-iteration 기반 해석기를 구현하고 수치 실험으로 안정성 및 정확성을 검증한다.

제안 방법

• G = G_c - G_e 형태의 convex-concave 에너지 분할을 구성하여 convex-splitting 시간 이산화를 가능하게 한다.
• convex 부분의 암시적 처리와 concave 부분의 명시적 처리를 통해 시간에 대해 1차 semi-discrete 스킴을 사용한다.
• Centered-difference 공간 이산화를 적용하고 convex, concave 부분에 해당하는 discrete energy 함수 E_c와 E_e를 정의한다.
• φ와 ρ 및 그들의 화학 퍼텐셜 μ_φ와 μ_ρ에 대한 이산 방정식을 유도하여 고유 해와 에너지 안정성을 보장한다.
• Flory-Huggins 포텐셜의 로그항의 특이성으로 양성성 보존 특성을 도출한다.
• 각 시간 단계에서 얻은 비선형 시스템을 Newton iteration으로 풀고 정확성 및 안정성을 확인하는 수치 실험을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Convex-splitting 기반 이산화가 이진 유체-계면활성제 계에 대해 고유 해를 보장할 수 있는가?
• RQ2 제안된 스킴이 이산 수준에서 밀도 ρ의 양성성을 보존하는가?
• RQ3 스킴이 이산 에너지에 대해 무조건적인 에너지 안정성을 가지는가?
• RQ4 스킴의 시간적 수렴 속도는 최적 속도이며 이를 어떤 조건에서 달성하는가?
• RQ5 수치 실험이 이론적 양성성, 안정성 및 수렴 속성을 확인하는가?

주요 결과

• 제안된 스킴은 고유 해를 갖는다.
• 스킴은 밀도 변수 ρ의 양성성을 보존한다.
• 스킴은 무조건 에너지 안정성을 가진다(에너지 안정성에 대한 시간 스텝 제한이 없다).
• 스킴에 대한 시간적 최적 수렴 속도가 확립된다.
• 뉴턴 반복을 사용하여 이산 비선형 시스템을 풀이하고 수치 실험은 정확성 및 에너지 안정성을 검증한다.