[논문 리뷰] A posteriori error estimates for fully coupled McKean-Vlasov forward-backward SDEs

Christoph Reisinger, Wolfgang Stockinger외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 15.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 32인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 완전히 결합된 McKean-Vlasov 전진-역행 SDEs(MV-FBSDEs)에 대한 잔차 기반 후행 오차 추정기(의사오차 추정기)를 제안하며, 이는 주어진 이산 근사가 시간 그리드 상에서 원래의 SDE 시스템을 얼마나 잘 만족하는지 측정하여 수치적 해의 L2-근사 오차를 정량화한다. 주요 기여는 이 추정기가 전진 오일러 이산화의 전반적 오차와 등가임을 증명함으로써 오일러 스킴의 안정성을 확립하고, 평균장 제어 및 게임 문제에 잔차 기반 알고리즘을 사용하는 것을 정당화한다.

ABSTRACT

Fully coupled McKean-Vlasov forward-backward stochastic differential equations (MV-FBSDEs) arise naturally from large population optimization problems. Judging the quality of given numerical solutions for MV-FBSDEs, which usually require Picard iterations and approximations of nested conditional expectations, is typically difficult. This paper proposes an a posteriori error estimator to quantify the $L^2$-approximation error of an arbitrarily generated approximation on a time grid. We establish that the error estimator is equivalent to the global approximation error between the given numerical solution and the solution of a forward Euler discretized MV-FBSDE. A crucial and challenging step in the analysis is the proof of stability of this Euler approximation to the MV-FBSDE, which is of independent interest. We further demonstrate that, for sufficiently fine time grids, the accuracy of numerical solutions for solving the continuous MV-FBSDE can also be measured by the error estimator. The error estimates justify the use of residual-based algorithms for solving MV-FBSDEs. Numerical experiments for MV-FBSDEs arising from mean field control and games confirm the effectiveness and practical applicability of the error estimator.

연구 동기 및 목표

• 완전히 결합된 McKean-Vlasov 전진-역행 SDEs(MV-FBSDEs)의 수치적 해에 대한 신뢰할 수 있는 오차 평가 방법의 부재를 해결하기 위해, 이는 평균장 제어 및 게임 이론의 핵심 요소이다.
• 주어진 수치적 해의 시간 그리드 상에서 L2-근사 오차를 정량화할 수 있는 계산 가능한 잔차 기반 후행 오차 추정기를 개발하기 위해.
• MV-FBSDEs의 전진 오일러 이산화의 안정성을 확립하기 위해, 이는 오차 분석에서 필수적이지만 도전적인 단계이다.
• 해석적 해가 존재하지 않는 고차원, 사전한계 설정에서 조차도 수치적 해의 정확도를 신뢰성 있게 평가할 수 있도록 오차 추정기를 활용할 수 있도록 하기 위해.
• 평균장 제어 및 게임 문제에서 유래한 MV-FBSDEs에 대한 수치 실험을 통해 오차 추정기의 실용적 유용성을 검증하기 위해.

제안 방법

• 오차 추정기는 전진 및 역행 SDEs의 잔차 합으로 정의되며, 시간 그리드 상에서 SDE 동역학과 종단 조건 위반 정도를 측정한다.
• MV-FBSDE의 이산 시간 근사에 기반하여 구성되며, 예측된 증분과 실제 증분 간의 제곱 차이를 시간 적분하여 잔차를 계산한다.
• 오차 항을 유계화하기 위해 이토 등식, 얀의 부등식 및 허더의 부등식, 그리고 그로워발의 부등식을 활용한 분석이다. 이는 이산화 및 조건부 기대값 근사에서 발생하는 오차 항을 다루기 위함이다.
• 생성자 및 그 도함수에 대한 약한 정규성 및 연속성 가정 하에 오일러 이산화의 안정성이 엄밀히 증명된다. 이는 별도의 관심사로도 중요하다.
• 제안된 추정기가 주어진 수치적 해와 오일러 이산화된 MV-FBSDE의 해 사이의 전반적 L2 오차와 등가임을 입증한다.
• 이 방법은 어떤 시간 스텝 스킴, 조건부 기대값 계산 절차, 브라운 운동 증분 근사 방식에도 적용 가능하므로 광범위하게 적용 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전히 결합된 MV-FBSDEs에 대해 계산 가능한 잔차 기반 후행 오차 추정기를 구성할 수 있는가? 이 추정기는 진짜 근사 오차를 정확히 반영하는가?
• RQ2 제안된 오차 추정기는 주어진 수치적 해가 오일러 이산화된 MV-FBSDE에 대해 전역 L2 오차와 등가인가?
• RQ3 MV-FBSDEs의 전진 오일러 스킴의 안정성은 일반 조건 하에서도 유지되는가? 이는 엄밀한 오차 분석을 가능하게 하는가?
• RQ4 해석적 해가 존재하지 않는 고차원, 사전한계 설정에서 오차 추정기는 수치적 해의 정확도를 신뢰성 있게 평가할 수 있는가?
• RQ5 오차 추정기는 평균장 제어 및 게임 문제의 수치적 알고리즘, 예를 들어 딥 BSDE 솔버를 안내하고 검증하는 데 얼마나 효과적인가?

주요 결과

• 제안된 후행 오차 추정기는 주어진 수치적 해와 MV-FBSDE의 전진 오일러 이산화 해 사이의 전반적 L2 근사 오차와 등가임을 엄밀히 증명하였다.
• 생성자 및 그 도함수에 대한 표준 정규성 및 연속성 가정 하에, 완전히 결합된 MV-FBSDEs의 전진 오일러 스킴의 안정성이 엄밀히 확립되었다.
• 적절히 미세한 시간 그리드를 사용할 경우, 오차 추정기는 연속 MV-FBSDE에 대한 수치적 해의 정확도를 측정하는 데도 사용될 수 있으며, 이는 실용적 계산에서의 활용을 정당화한다.
• 오차 추정기는 시간 스텝 스킴, 조건부 기대값 근사 방법, 브라운 운동 증분 이산화 방법의 선택에 대해 강건하여 광범위한 적용 가능성을 제공한다.
• 수치 실험을 통해, 평균장 제어 및 게임 문제에서 유래한 MV-FBSDEs의 해 품질 평가에 추정기가 효과적임을 확인하였다.
• 이론적 프레임워크는 특히 전통적 오차 제어가 비현실적인 고차원 설정에서 MV-FBSDEs를 해결하기 위한 잔차 기반 알고리즘의 사용을 뒷받침한다.