[논문 리뷰] A posteriori estimates for Euler and Navier-Stokes equations

Carlo Morosi, M. Pernici외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 21.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 2인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 소볼레프 공간과 기호 계산을 사용하여 토러스 위에서 압축성 없음 유동의 온드르-나비에-스토크스 방정식에 대한 엄밀한 후행 오차 추정 프레임워크를 제시한다. 3차원에서 Behr-Neĉas-Wu 초기 조건을 갖는 52차 타일러 다항식 근사에 이 방법을 적용하여 해의 존재 시간에 대한 하한 $ T \geq 0.242 $ 를 확립하고, 정확한 해와 근사 해 사이의 엄밀한 $ H^3 $-노름 오차 추정을 제공한다.

ABSTRACT

The first two sections of this work review the framework of [6] for approximate solutions of the incompressible Euler or Navier-Stokes (NS) equations on a torus T^d, in a Sobolev setting. This approach starts from an approximate solution u_a of the Euler/NS Cauchy problem and, analyzing it a posteriori, produces estimates on the interval of existence of the exact solution u and on the distance between u and u_a. The next two sections present an application to the Euler Cauchy problem, where u_a is a Taylor polynomial in the time variable t; a special attention is devoted to the case d=3, with an initial datum for which Behr, Necas and Wu have conjectured a finite time blowup [1]. These sections combine the general approach of [6] with the computer algebra methods developed in [9]; choosing the Behr-Necas-Wu datum, and using for u_a a Taylor polynomial of order 52, a rigorous lower bound is derived on the interval of existence of the exact solution u, and an estimate is obtained for the H^3 Sobolev distance between u(t) and u_a(t).

연구 동기 및 목표

• 압축성 없음 온드르 및 나비에-스토크스 방정식의 정확한 해에 대한 존재 시간과 오차 거리 추정을 위한 엄밀한 후행 프레임워크를 개발하는 것.
• 특정 초기 조건이 유한 시간 내 폭발을 보일 것으로 추측되는 온드르 코시 문제에 이 프레임워크를 적용하는 것.
• 기호 계산과 타일러 다항식 근사를 활용하여 해의 정(regularity)과 존재 간격에 대한 계산 가능한 엄밀한 경계를 도출하는 것.
• 3차원에서 Behr-Neĉas-Wu 초기 조건을 갖는 온드르 해의 존재 시간에 대한 이전 하한을 향상시키는 것.
• 정확한 해와 그 52차 타일러 다항식 근사 간의 거리에 대한 정량적 $ H^3 $-노름 추정을 제공하는 것.

제안 방법

• 토러스 $ \mathbb{T}^d $ 위에서 소볼레프 공간 프레임워크를 사용하며, $ \mathbb{H}^n_{\Sigma 0} $ 내의 발산이 없고 평균이 0인 벡터장에 초점을 맞춘다.
• 온드르/NS 방정식의 비선형 항을 나타내는 이항형 사상 $ \mathscr{P}(v,w) = -\mathfrak{L}(v{\scriptstyle{\bullet}}\partial w) $ 를 적용한다.
• 계산 가능한 상수 $ G_3 = 0.438 $, $ K_3 = 0.323 $ 를 사용한 케이토 부등식 (1.5) 및 기본 부등식 (1.4) 를 적용한다. $ d=3 $ 인 경우.
• 오차 추정자 $ \mathcal{D}_3(t), \mathcal{D}_4(t) $ 와 미분 오차 추정자 $ \epsilon_3(t) $ 를 포함하는 일변수 미분방정식을 푸는 제어 코시 문제 (4.4) 를 구성한다.
• 기계적 대수를 사용하여 52차 타일러 다항식 $ u^{52}(t) $ 과 관련된 오차 추정자를 기호적으로 계산한다.
• 제어 미분방정식 (4.4) 를 수치적으로 풀어, 진짜 해의 존재 간격을 제한하는 데 사용되는 $ \mathscr{R}_3(t) $ 의 최대 존재 시간 $ T_{\tt{c}} $ 를 결정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소볼레프 공간에서 온드르 및 나비에-스토크스 방정식에 대해 엄밀한 후행 오차 추정 프레임워크를 구축할 수 있는가?
• RQ2 Behr-Neĉas-Wu 초기 조건을 갖는 3차원 온드르 방정식의 정확한 해가 정규성을 유지하는 최대 시간 간격은 얼마인가?
• RQ3 시간이 지남에 따라 52차 타일러 다항식 근사는 정확한 해와 $ H^3 $-노름에서 얼마나 정확하게 근사하는가?
• RQ4 기호 계산과 후행 분석을 결합하여 해 존재 시간에 대한 날카운 계산 가능한 하한을 도출할 수 있는가?
• RQ5 해가 잠재적 폭발에 가까워질수록 근사 해와 정확한 해 사이의 오차는 정량적으로 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• Behr-Neĉas-Wu 초기 조건을 갖는 3차원 온드르 코시 문제의 최대 해 $ u $ 는 $ T \geq 0.242 $ 인 간격 $ [0,T) $ 에서 존재하며, 이는 이전의 하한보다 크게 향상된 것이다.
• 정확한 해 $ u(t) $ 와 52차 타일러 다항식 근사 $ u^{52}(t) $ 사이의 $ H^3 $-노름 거리는 모든 $ t \in [0, 0.242) $ 에서 $ \mathscr{R}_3(t) $ 로 유계이다.
• 함수 $ \mathscr{R}_3(t) $ 는 $ t \in [0, 0.20] $ 에서 매우 작게 유지되며 (2 × 10^{-6} 이하), 이는 대부분의 간격 동안 근사의 높은 정확도를 나타낸다.
• $ t \to 0.242^{-} $ 에 가까워질수록 $ \mathscr{R}_3(t) $ 는 급격히 발산하므로, 제어 문제가 유효한 최대 시간 $ T_{\tt{c}} = 0.242 $ 라는 것이 확인된다.
• $ t \leq 0.10 $ 에서 미분 오차 추정자 $ \epsilon_3(t) $ 는 $ 10^{-20} $ 이하로 유지되어 초기 진화 단계에서 근사 해의 잔여 오차가 무시할 만큼 작다는 것을 나타낸다.
• $ k \in \mathbb{Z}^3 \setminus \{0\} $ 에 대해 모든 $ k $ 에 대해 $ |u_k(t) - u^{52}_k(t)| \leq \mathscr{R}_3(t)/|k|^3 $ 이 성립하며, 이는 푸리에 모드 단위 오차 통제를 제공한다.