[논문 리뷰] A posteriori subcell finite volume limiter for general PNPM schemes: applications from gasdynamics to relativistic magnetohydrodynamics

Gaburro, Elena, Elena Gaburro|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 09.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 131인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 $P_NP_M$ 스킴을 위한 새로운 후행(subcell) 유한체적 제한기(a posteriori subcell finite volume limiter)를 소개한다. 이 제한기는 불연속성이 있는 초분기 편미분방정식(hyperbolic PDEs)을 해석할 때 고차 정확도와 안정성을 보장한다. 제한기는 오직 문제를 일으키는 셀(troubled cells)에서만 작동하며, 고해상도를 확보하기 위해 $2N+1$의 서브셀 그리드를 사용하고, 계산 효율성도 유지한다. 이로써 $M>N>0$인 $P_NP_M$ 스킴은 기체역학에서부터 상대론적 MHD에 이르기까지 도전적인 문제들에 대해 최적의 성능을 발휘하게 된다.

ABSTRACT

In this work, we consider the general family of the so called ADER PNPM schemes for the numerical solution of hyperbolic partial differential equations with \ extit{arbitrary} high order of accuracy in space and time. The family of one-step PNPM schemes was introduced in [Dumbser et al., JCP, 2008] and represents a unified framework for classical high order Finite Volume (FV) schemes (N=0), the usual Discontinuous Galerkin (DG) methods (N=M), as well as a new class of intermediate hybrid schemes for which a reconstruction operator of degree M is applied over piecewise polynomial data of degree N with M>N. In all cases with M >= N > 0 the PNPM schemes are linear in the sense of Godunov, thus when considering phenomena characterized by discontinuities, spurious oscillations may appear and even destroy the simulation. Therefore, in this paper we present a new simple, robust and accurate a posteriori subcell finite volume limiting strategy that is valid for the entire class of PNPM schemes. The subcell FV limiter is activated only where it is needed, i.e. in the neighborhood of shocks or other discontinuities, and is able to maintain the resolution of the underlying high order PNPM schemes, due to the use of a rather fine subgrid of 2N+1 subcells per space dimension. The paper contains a wide set of test cases for different hyperbolic PDE systems, solved on adaptive Cartesian meshes (AMR) that show the capabilities of the proposed method both on smooth and discontinuous problems, as well as the broad range of its applicability. The tests range from compressible gasdynamics over classical MHD to relativistic magnetohydrodynamics.

연구 동기 및 목표

• 중간 $P_NP_M$ 스킴($M>N>0$)에 대해 안정적인 제한 전략의 부족 문제를 해결하기 위해, 이 스킴들은 고두노프(Godunov) 의미에서 선형인데, 불연속 근처에서 진동 현상이 발생하기 쉬운 점을 고려한다.
• 고차 정확도와 계산 효율성을 유지하면서도, 불연속 흐름 영역에서의 안정성을 보장하는 제한 전략을 개발한다.
• 적응형 카르테시안 메쉬에서 복잡한 초분기 시스템, 특히 상대론적 자기유체역학(relativistic magnetohydrodynamics)까지의 $P_NP_M$ 스킴의 적용 가능성을 확장한다.
• 제안된 제한기가 순수 DG 스킴($M=N$)과 비교해 고차 정확도를 유지하면서도 계산 비용을 줄이는지 확인한다.

제안 방법

• 후행 감지 메커니즘은 고차 $P_NP_M$ 갱신 후 진동 현상이 발생하는 문제 셀을 식별한다.
• 문제 셀에만 서브셀 유한체적 재구성(subcell finite volume reconstruction)을 적용하며, 각 공간 차원에 대해 $2N+1$ 서브셀 그리드를 사용해 해상도를 향상시킨다.
• 강한 안정성 보존(Strong stability preserving, SSP) TVD 또는 WENO 유한체적 스킴을 서브그리드에 적용하여 물리적 경계를 강제하고 진동을 방지한다.
• 제한기는 국부적으로만 작동하므로, 스무스 영역에서는 원래의 고차 스킴을 유지하여 계산 오버헤드를 최소화한다.
• 공간-시간 갈레르킨 예측자와 결합된 일단계 ADER 시간 적분 프레임워크에 통합되어, 공간과 시간에서 임의의 고차 정확도를 달성한다.
• 메쉬의 적응형 카르테시안 메쉬(AMR)에서 검증되었으며, 메쉬 세분화 비율 $\mathfrak{r}=3$ 및 최대 $\ell_{\max}=2$ 수준까지 적용 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차 정확도와 효율성을 유지하면서도, 불연속 해를 다룰 수 있는 강력하고 국소적이며 효율적인 제한 전략을 $P_NP_M$ 스킴($M>N>0$)에 대해 개발할 수 있는가?
• RQ2 후행 서브셀 FV 제한기는 충격이 지배하는 유동에서 진동을 방지하면서도 고해상도 능력을 유지하는가?
• RQ3 고차 정확도와 계산 비용 측면에서, $M>N>0$인 $P_NP_M$ 스킴의 성능은 순수 DG 스킴($M=N$)과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ4 제안된 제한기는 기체역학, 상대론적 MHD를 포함한 다양한 초분기 시스템에 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ5 동적 메쉬 세분화를 수반하는 적응형 카르테시안 메쉬에서 이 방법은 확장 가능하고 효율적인가?

주요 결과

• 후행 서브셀 FV 제한기는 기체역학, 고전적 MHD, 상대론적 MHD를 포함한 모든 테스트 시스템에서 $P_NP_M$ 스킴($M>N>0$)을 성공적으로 안정화시켰다.
• 기존 메쉬에서 $P_3P_5$ 스킴은 $P_5P_5$ DG 스킴과 유사한 해상도를 확보했지만, 2.62배 더 빠른 성능을 보여 계산 효율성 향상의 명확한 증거를 제시했다.
• 오르사그-탄그 볼테르 테스트에서 제한기는 조밀한 메쉬에서도 고해상도를 유지했으며, 눈에 띄는 진동 없이 정확한 충격 포착을 보였다.
• 상대론적 MHD 테스트에서 제한기는 평균적으로 셀의 1.5%에서만 작동하여, 국소적이고 효율적인 성격을 확인했다.
• 스무스 영역에서는 명목상의 정확도 순서($M+1$)를 유지하면서도, 불연속 근처에서는 진동을 효과적으로 억제했다.
• 이 방법은 $M>N>0$인 중간 하이브리드 스킴까지 포함한 전체 $P_NP_M$ 가족에 대해 강력하고 고차 정확도를 갖추며 효율적인 제한 전략을 제공하는 최초의 접근법이다.