[논문 리뷰] A preliminary univalent formalization of the p-adic numbers

Álvaro Pelayo, Vladimir Voevodsky외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 05.

advanced mathematical theories참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 호모토피 유형 이론을 사용하여 Coq에서 p-진 수의 구성적, 유일성(formalization)을 제시한다. p-진 정수는 ℤ 위의 형식적 멱급수의 몫으로 정의되고, p-진 수는 이 환의 분수체로 정의된다. 이 구성은 등호가 결정 불가능한 상황을 다루기 위해 분리관계(apartness relations)와 하이팅 체(heyting fields)을 사용하며, 향후 p-진 적분 가능 시스템에서의 알고리즘 개발을 위한 기초 틀을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we give a preliminary formalization of the p-adic numbers, in the context of the second author's univalent foundations program. We also provide the corresponding code verifying the construction in the proof assistant Coq. Because work in the univalent setting is ongoing, the structure and organization of the construction of the p-adic numbers we give in this paper is expected to change as Coq libraries are more suitably rearranged, and optimized, by the authors and other researchers in the future. So our construction here should be deemed as a first approximation which is subject to improvements.

연구 동기 및 목표

• 호모토피 유형 이론을 기반으로 Coq를 사용하여 p-진 수의 구성적, 유일성 형식화를 개발한다.
• p-진 적분 가능 시스템에서의 알고리즘 구축과 수치 해석을 위한 기초를 제공한다.
• p-진 정수를 ℤ[[X]]의 몫으로, p-진 수를 그 분수체로 형식화한다.
• 등호 결정 불가능성을 다루기 위해 분리관계와 구성적으로 정의된 정수환 및 하이팅 체를 사용한다.
• 향후 p-진 적분 가능 시스템과 양자 시스템에서의 역스펙트럼 문제의 형식화를 위한 기반을 마련한다.

제안 방법

• 정수 ℤ 위의 형식적 멱급수 환 ℤ[[X]]의 몫으로 p-진 정수 ℤₚ를 구성한다.
• 유일성 기반 이론과 Coq의 유형 이론을 사용하여 호모토피 이론적 일관성을 갖춘 대수적 구조를 형식화한다.
• 등호가 결정 불가능한 구성적 환경에서 등호를 대체하기 위해 분리관계를 정의한다.
• 하이팅 체를 구성적 체의 동치로 정의하여 구성적 논리와의 호환성을 확보한다.
• ℤₚ의 분수체를 구성적 분수체 구성 방식을 사용하여 p-진 수 ℚₚ로 구성한다.
• 모든 구성은 Coq에 구현되었으며, 유일성 기반 라이브러리를 사용하고, 논문과 함께 검증된 코드가 보조 자료로 제공된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 p-진 수를 구성적, 유일성, 호모토피 유형 이론 프레임워크 내에서 형식화할 수 있는가?
• RQ2 형식적 멱급수 환에서 등호 결정 불가능성을 구성적으로 다루기 위해 필요한 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 분수체 구성 방식을 하이팅 체에 적응시켜 ℚₚ를 고전적 선택 공리 없이 정의할 수 있는가?
• RQ4 이 형식화는 p-진 적분 가능 시스템을 위한 알고리즘 개발을 어떻게 지원하는가?
• RQ5 분리관계는 ℤₚ와 ℚₚ에서 대수적 연산의 구성적 타당성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• p-진 정수 ℤₚ는 ℤ[[X]]의 몫으로 성공적으로 형식화되었으며, 구성적 증명을 통한 정수성과 분리 구조가 입증되었다.
• 분수체 구성은 하이팅 체에 적응되어 ℚₚ가 고전적 논리 없이 하이팅 체로 정의될 수 있게 되었다.
• 형식화는 유일성 기반 라이브러리를 사용하여 Coq에 구현되었으며, 검증된 코드가 보조 자료로 제공된다.
• 구성적 대수학의 맥락에서 분리관계와 결정 가능 성질에 기반하여 고전적 가정을 피하는 구성이 이루어졌다.
• 이 접근은 향후 라이브러리 개선에 따라 발전할 것으로 예상되는, p-진 수의 유일성 형식화의 첫 번째 근사치를 제공한다.
• 형식화는 p-진 양자 적분 가능 시스템에서의 역스펙트럼 문제를 위한 알고리즘 추출이라는 장기적 목표를 지원한다.