[논문 리뷰] A-priori bounds and multiplicity of solutions for nonlinear elliptic problems involving the fractional $p(\cdot)$-Laplacian

Ky Ho, Yun-Ho Kim|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 11.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 가변 지수를 가진 분수적 소볼레프 공간에 대한 기본 임베딩을 수립하고, 이를 통해 분수적 $p(\cdot)$-라플라스 연산자를 포함하는 비선형 타원형 문제에 대해 전역적인 사전 경계와 약한 해의 다중성을 도출한다. De Giorgi 반복 기법과 변분 방법을 사용하여, 이전 연구에서 제한적인 가정을 요구했던 것과는 달리 일반적인 성장 조건 하에서 무한히 많은 약한 해의 존재를 증명한다.

ABSTRACT

We obtain fundamental imbeddings for the fractional Sobolev space with variable exponent that is a generalization of well-known fractional Sobolev spaces. As an application, we obtain a-priori bounds and multiplicity of solutions to some nonlinear elliptic problems involving the fractional $p(\cdot)$-Laplacian.

연구 동기 및 목표

• 가변 지수 $\widetilde{p}(x,x) < q(x)$라는 제한 조건 없이, 분수적 소볼레프 공간에 대한 기본 임베딩, 즉 컴팩트 및 연속 임베딩을 정밀화하고 수립한다.
• De Giorgi 반복 기법과 국소화 방법을 활용하여, 분수적 $p(\cdot)$-라플라스 연산자를 포함하는 비선형 타원형 문제의 약한 해에 대한 전역적인 사전 경계를 도출한다.
• 영 외부 조건을 가진 도메인 $\Omega$ 내에서 문제 $(-\Delta)_{p(x)}^{s}u = f(x,u)$에 대해, $f$의 일반적인 성장 및 구조 조건 하에서 무한히 많은 약한 해의 존재를 수립한다.
• 변분 방법을 비국소적이고 가변 지수 설정으로 확장하기 위해 $(PS)$ 조건을 증명하고, 에너지 공간에서 0으로 수렴하는 해의 수열을 구성한다.

제안 방법

• 변수 지수 $p(x,y)$를 가진 분수적 소볼레프 공간 $W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega)$를 도입하고 정밀화하여, 잘 정의된 노름과 위상적 성질을 확보한다.
• $\widetilde{p}(x,x) < q(x)$ 조건을 요구하지 않고도, $1 < r(x) < \frac{N\widetilde{p}(x,x)}{N - s\widetilde{p}(x,x)}$인 경우에 대해 연속 임베딩 $W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega) \hookrightarrow L^{r(\cdot)}(\Omega)$를 수립한다.
• De Giorgi의 반복 기법을 적용하여, 비선형성의 특성에 따라 약한 해에 대한 전역적인 $L^\infty$ 경계를 도출한다. 이는 비국소적 설정으로의 일반화된 $p(\cdot)$-라플라스 방정식의 기존 방법을 적응하여 적용한다.
• 에너지 함수 $\widetilde{E}(u)$를 기반으로 한 변분 프레임워크를 사용하고, 유한 차원 부분공간에서의 컴팩트 임베딩과 노름 동치를 통해 $(PS)$ 조건을 증명한다.
• 대칭 산맥 통과 정리를 적용하기 위해 부분공간 $X_n$의 수열을 구성하고, $\sup_{u \in X_n \cap S_{r_n}} \widetilde{E}(u) < 0$을 보여, 이로 인해 무한히 많은 임계점이 존재함을 도출한다.
• 국소화 추론과 유한 차원 부분공간에서의 노름 동치를 활용하여 $\|u_n\|_{L^{p(\cdot)}(\Omega)} \to 0$임을 보이고, 이는 큰 $n$에 대해 해가 비자명함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제한 조건 $\widetilde{p}(x,x) < q(x)$ 없이도 컴팩트 임베딩 $W^{s,q(\cdot),\widetilde{p}(\cdot,\cdot)}(\Omega) \hookrightarrow L^{r(\cdot)}(\Omega)$가 성립할 수 있는가?
• RQ2 유계 리프시츠 도메인에서 분수적 $p(\cdot)$-라플라스 문제 $(-\Delta)_{p(x)}^{s}u = f(x,u)$의 약한 해에 대해 전역적인 사전 경계가 성립하는가?
• RQ3 일반적인 비선형성 조건 하에서 분수적 $p(\cdot)$-라플라스 문제에 대해 무한히 많은 약한 해의 존재를 증명할 수 있는가?
• RQ4 가변 지수 분수적 소볼레프 공간에서 관련 에너지 함수의 $(PS)$ 조건이 만족되는가?
• RQ5 De Giorgi 반복 기법을 비국소적이고 가변 지수 설정으로 일반화하여 $L^\infty$ 경계를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $\widetilde{p}(x,x) < q(x)$ 조건을 요구하지 않고도, $1 < r(x) < \frac{N\widetilde{p}(x,x)}{N - s\widetilde{p}(x,x)}$인 경우에 대해 연속 임베딩 $W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega) \hookrightarrow L^{r(\cdot)}(\Omega)$를 수립하여 이전 결과를 일반화한다.
• De Giorgi 반복 기법을 통해 약한 해에 대한 전역적인 $L^\infty$ 경계를 도출하였으며, 이는 일반적인 구조적 가정 하에서 해가 $\Omega$ 내에서 균일하게 유계임을 증명한다.
• 에너지 함수 $\widetilde{E}(u)$는 $W_0^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega)$에서 $(PS)$ 조건을 만족하여 임계점 이론의 적용이 가능하다.
• 대칭 산맥 통과 정리를 적용하여 무한히 많은 약한 해를 도출하였으며, 해의 수열 $\{u_n\}$은 $W_0^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega)$와 $L^{p(\cdot)}(\Omega)$에서 0으로 수렴한다.
• 해 $u_n$은 큰 $n$에 대해 비자명함을 보였는데, 이는 $\|u_n\|_{L^{\infty}(\Omega)} \to 0$ 이지만 $\|u_n\|_{s,p} = r_n > 0$ 임을 통해 확인된다. 이는 극한에서의 비자명성을 보장한다.
• 증명 과정에서 에너지 항등식을 만족하는 유일한 해는 $\bar{u} = 0$임을 보였으며, 이는 수열 $\{u_n\}$이 서로 다른 비자명한 약한 해로 구성되어 있으며 0으로 수렴함을 확인한다.