[논문 리뷰] A priori estimates for elliptic equations with reaction terms involving the function and its gradient

Marie‐Françoise Bidaut‐Véron, Marta García‐Huidobro외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 29.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 25인용 수 32

한 줄 요약

이 논문은 $p,q>1$ 및 $M\in\mathbb{R}$ 인 $\mathbb{R}^N$ 에서 타원형 방정식 $-\Delta u = u^p + M|\nabla u|^q$ 의 지면 상태의 사전 추정 및 존재/비존재를 수립한다. 버니스타인 및 적분 방법을 사용하여 임계 지수와 분기 분기를 규명하였으며, $N\geq4$ 일 때 $p>\frac{N+1}{N-3}$ 이면 비원형 특이 해가 존재함을 증명하였고, 구면에서의 스펙트럼 분석을 통해 해의 구조를 특성화하였다.

ABSTRACT

We study local and global properties of solutions of --$\\Delta$u = u p + M ||u| q in a domain $\\Omega$ of R N , in the range min{p, q} > 1 and M $\\in$ R. We prove a priori estimates and existence or non-existence of ground states.

연구 동기 및 목표

• 반응 항이 $u^p + M|\nabla u|^q$ 인 반선형 타원형 방정식 $-\Delta u = u^p + M|\nabla u|^q$ 에 대한 양의 해에 대한 사전 추정을 수립한다. $\mathbb{R}^N$ 에서 $p,q>1$ 및 $M\in\mathbb{R}$.
• 지면 상태(즉, $\mathbb{R}^N$ 에서의 양의 해)의 존재 또는 비존재 조건을 결정하며, 특히 임계 지수와의 관계를 규명한다.
• 구면 $S^{N-1}$ 에서 고유함수의 스펙트럼 분석 및 분기 이론을 통해 특이 및 비원형 해의 구조를 분석한다.
• 기존의 레인-에미헌 방정식 결과를 기울기 의존 반응 항이 있는 경우로 확장하기 위해 정교한 분석 기법을 도입한다.

제안 방법

• 직접 버니스타인 방법을 적용하여 $u = v^{-\beta}$ 로 방정식을 변환하고 $|\nabla v|$ 를 분석함으로써 점별 추정을 도출한다.
• 정교한 버니스타인 방법을 사용하여 초임계 영역에서 개선된 추정을 확보하며, 특히 $p > \frac{N+2}{N-2}$ 일 때 유리하다.
• 적분 방법을 활용하여 $L^p$-유형 부등식과 부트스트랩 추정을 유도하며, 하디-리틀우드-소볼레프 및 로렌츠 공간 포함을 기반으로 한다.
• 에너지 함수와 포호자프-푸치-세린 형식의 항등식을 사용하여 원형 지면 상태를 분석함으로써 존재성 및 척도 행동을 연구한다.
• 구면 $S^{N-1}$ 에서 $-\Delta'$ 의 고유함수, 특히 $\psi_1 = x_N|_{S^{N-1}}$ 를 사용하여 분기 분석을 수행함으로써 비원형 해를 구성한다.
• 접촉 조건과 은직함수정리를 활용하여 알려진 해 $M_0$ 에서 분기하는 국소 해 곡선 $(M(s), \omega_{M(s)})$ 을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 방정식 $-\Delta u = u^p + M|\nabla u|^q$ 가 $\mathbb{R}^N$ 에서 양의 지면 상태를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 임계 지수 $p = \frac{N}{N-2}$ 와 $p = \frac{N+2}{N-2}$ 가 해의 존재성 및 정칙성에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 M의 부호는 비원형 특이 해의 존재성에 어떤 역할을 하며, 분기 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 $N \geq 4$ 일 때 $p > \frac{N+1}{N-3}$ 이면 비원형 해를 원형 해에서 분기하여 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $p>1$ 과 $q = \frac{2p}{p+1}$ 에 대해 $\mathbb{R}^N \setminus \{0\}$ 에서 형태 $u(r,\sigma) = r^{-\frac{2}{p-1}}\omega(\sigma)$ 의 비원형 특이 해가 존재한다.
• $N \geq 4$ 이고 $p > \frac{N+1}{N-3}$ 이면 $M>0$ 인 분기 분지에서 비원형 해가 유도된다.
• $N \geq 3$ 이고 $\frac{N}{N-2} \leq p < \frac{N+1}{N-3}$ 이면 $M<0$ 인 분기에서 비원형 해가 유도된다.
• $N=1,2$ 이거나 $N\geq3$ 이고 $1<p<\frac{N}{N-2}$ 이면 $M_k < -\mu^*$ 이며 $k \geq 1$ 인 분기에서 비원형 해를 확보할 수 있다.
• $p = \frac{N+1}{N-3}$ 는 $S^{N-1}$ 에서의 소볼레프 임계 지수로 규명되었으며, 이는 분기 행동의 임계값을 나타낸다.
• $p = \frac{N+1}{N-3}$ 일 때 $M=0$ 이면 분리 가능한 방정식에 대해 무한히 많은 양의 해가 존재하며, 이 중 상수해가 아닌 해도 포함된다.