[논문 리뷰] A priori Estimates for the Compressible Euler Equations for a Liquid with Free Surface Boundary and the Incompressible Limit

Hans Lindblad, Chenyun Luo|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 16.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비압축성일 필요가 없는 자유 표면 경계를 가진 압축성 오일러 방정식에 대해 균일한 사전 에너지 추정을 수립하며, 크리스토풀루와 린드블라드의 작업을 비압축성 경우로 일반화한다. 주요 기여는 음속 → ∞일 때 해가 비압축성 해로 수렴함을 보이고, 음속에 대해 균일한 에너지 추정을 확보함으로써 약간의 비압축성 유체에 대해 장기 존재성을 분석할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

In this paper, we prove a new type of energy estimates for the compressible Euler's equation with free boundary, with a boundary part and an interior part. These can be thought of as a generalization of the energies in Christodoulou and Lindblad [CL] to the compressible case and do not require the fluid to be irrotational. In addition, we show that our estimates are in fact uniform in the sound speed. As a consequence, we obtain convergence of solutions of compressible Euler equations with a free boundary to solutions of the incompressible equations, generalizing the result of Ebin [Eb] to when you have a free boundary. In the incompressible case our energies reduces to those in [CL] and our proof in particular gives a simplified proof of the estimates in [CL] with improved error estimates. Since for an incompressible irrotational liquid with free surface there are small data global existence results our result leaves open the possibility of long time existence also for slightly compressible liquids with a free surface.

연구 동기 및 목표

• 자유 표면 경계를 가진 압축성 오일러 방정식에 대해 비압축성 조건 없이 사전 에너지 추정을 수립하는 것.
• 압축성 경우로 크리스토풀루와 린드블라드의 에너지 프레임워크를 일반화하기 위해 엔탈피와 밀도 함수에 기반한 새로운 에너지 구조를 도입하는 것.
• 이러한 에너지 추정이 음속 κ에 대해 균일함을 보여, 비압축성 극한의 분석을 가능하게 하는 것.
• 압축성 자유경계 문제의 해가 κ → ∞일 때 비압축성 오일러 방정식의 해로 수렴함을 보이는 것.
• 새로운 프레임워크의 특수한 경우로서 크리스토풀루와 린드블라드의 비압축성 에너지 추정을 회복하고 단순화하는 것.

제안 방법

• 함수 h(ρ) = ∫₁^ρ p′(λ)λ⁻¹ dλ을 정의하고, e(h) = log ρ(h)를 통해 압축성 방정식을 비압축성 오일러 방정식과 유사한 형태로 변환하는 것.
• 내부 및 경계 기여를 포함하는 새로운 에너지 함수 E_r*를 정의하며, √e′(h)D_t^r h와 같은 가중치 항을 포함하여 제어를 향상시키는 것.
• 물질 도함수 D_t = ∂_t + v^k ∂_k를 사용하고, 부분적 통합을 통해 에너지 추정을 유도하며, 제2 기본형 θ를 이용해 경계항을 신중히 다루는 것.
• −∇_N h ≥ ε > 0 조건을 통해 경계항을 제어하여 자유 표면의 물리적 안정성을 확보하는 것.
• 타원형 추정과 소볼레프 포함을 적용하여 L^∞ 노름을 에너지 노름으로 유계화함으로써 사전 추정의 폐쇄를 가능하게 하는 것.
• 음속 κ에 대해 균일성을 증명하기 위해, 에너지 추정 및 추정식 (1.30)–(1.34)가 κ → ∞일 때도 유지됨을 보이며, e_κ(h) → 0 이고, k ≤ 6에 대해 |e_κ^{(k)}(h)| ≤ c₀√e_κ′(h) 임을 조건으로 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 표면 경계를 가진 압축성 오일러 방정식에 대해 비압축성 조건 없이 사전 에너지 추정을 수립할 수 있는가?
• RQ2 에너지 추정이 음속 κ에 대해 균일하게 유지될 수 있는가? 이를 통해 비압축성 극한을 엄밀하게 유도할 수 있는가?
• RQ3 새로운 에너지 구조가 크리스토풀루와 린드블라드의 비압축성 에너지 추정을 극한 경우로 회복하고 단순화하는가?
• RQ4 압축성 자유경계 문제의 해가 κ → ∞일 때 비압축성 해로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 사전 추정은 시간에 대해 균일하게 폐쇄될 수 있는가? 이는 약간의 비압축성 유체에 대해 장기 존재 가능성의 가능성을 시사한다.

주요 결과

• 논문은 (1.8), (1.30)–(1.34)의 조건 하에 0 ≤ r ≤ 4에 대해 자유 표면 경계를 가진 압축성 오일러 방정식에 대해 사전 에너지 추정을 수립하며, |dE_r/dt| ≤ C_r(K, 1/ε, M, c₀, vol D_t, E_{r-1}*) E_r* 라는 유계를 확보한다.
• 에너지 추정은 음속 κ에 대해 균일함을 보였으며, 이는 Theorem LABEL:uniform_energybounds 및 Proposition LABEL:uniform_kk에 의해 입증되었으며, 이는 비압축성 극한으로의 전이를 가능하게 한다.
• κ → ∞일 때, 압축성 해 (v_κ, h_κ)는 비압축성 오일러 방정식의 해로 수렴하며, 이는 에빈의 결과를 자유경계 경우로 일반화한 것이다.
• 비압축성 극한(e_κ(h) → 0)에서 에너지 함수는 크리스토풀루와 린드블라드의 것과 일치하며, 이 증명은 그들의 추정을 단순화하고 개선한 버전을 제공한다.
• −∇_N h ≥ ε > 0 조건은 잘 정의된 문제를 위해 필수적이다; 이 조건이 없으면 문제는 불안정하며, [CL]에서 반례로 보여졌다.
• n ≤ 3일 때, 약간 더 강한 초기 조건 하에 (Proposition LABEL:a_priori_estimate_strong), 초기 에너지와 L^∞ 노름에만 의존하는 작은 시간 t ≤ T에 대해 사전 L^∞ 유계 (1.32)–(1.34)를 폐쇄할 수 있다.