[논문 리뷰] A proof of the Schinzel-Zassenhaus conjecture on polynomials

Vesselin Dimitrov|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 28.

Meromorphic and Entire Functions참고 문헌 29인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 비순환 정수 계수 다항식의 최대 근 크기에 대한 날카운 하한을 확립하여 Schinzel-Zassenhaus 추측을 증명한다: 만약 $ P ∈ \mathbb{Z}[X] $ 가 모닉이고 기약이며 순환적이지 않다면, 그 최대 근은 $ \max |\alpha| \geq 2^{1/(4n)} $ 를 만족한다. 증명은 $ p $-진 해석과 산술 대수화를 결합하여, 거듭제곱 급수 전개와 Bertrandias의 전순서 직경 정리에 기반하여 $ \mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $ 위에서 균일한 높이 하한을 도출하며, 이는 해석적 급수와 유리 함수에 응용된다.

ABSTRACT

We prove that if $P(X) \in \mathbb{Z}[X]$ is an integer polynomial of degree $n$ and having $P(0) = 1$, then either $P(X)$ is a product of cyclotomic polynomials, or else at least one of the complex roots of $P$ belongs to the disk $|z| \leq 2^{ - 1 / (4n) }$. We also obtain a relative version of this result over the compositum $\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t.}p}$ of all abelian and all totally $p$-adic extensions of $\mathbb{Q}$, for any fixed prime~$p$, and apply it to prove a $\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t.}p}$-relative canonical height lower bound on the multiplicative group. Another extension is given to a uniform positive height lower bound, inverse-proportional to the total number of singular points, on holonomic power series in $\mathbb{Q}[[X]]$ and not of the form $p(X) / (X^k-1)^m$, where $p(X) \in \mathbb{Q}[X]$, with a further application to existence of a small critical value for certain rational functions.

연구 동기 및 목표

• 비순환 정수 계수 다항식의 최대 근 크기의 최소값에 관한 Schinzel-Zassenhaus 추측을 해결하기 위해.
• 모든 아벨 및 완전히 $ p $-진 확장의 합성체인 $ \mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $ 위에서 대수적 수의 표준 높이에 대한 균일한 하한을 확립하기 위해.
• 유리 함수 형태 $ p(X)/(X^k - 1)^m $ 가 아닌 $ \mathbb{Q}[[X]] $ 내의 비유리 해석적 급수에 대해 높이 하한을 확장하기 위해.
• 높이 하한을 통해 특정 유리 함수의 작은 임계값 존재성을 증명하기 위해.

제안 방법

• 정수 계수를 가진 형식적 급수 $ f(1/X) = \sqrt{\prod_{\alpha: P(\alpha)=0} (1 - \alpha^2/X)(1 - \alpha^4/X)} $ 를 구성하기.
• Bertrandias의 산술 대수화 정리를 급수 $ f(1/X) $ 에 적용하며, 근 $ \{\alpha^2, \alpha^4\} $ 에로 뻗은 반경선 세트로 이루어진 '해드혹' 집합 $ \mathcal{K} $ 를 사용하기.
• Amoroso와 Dvornicich의 영감을 얻어 고정된 소수 $ p $ 에서의 $ p $-진 오일러-프로베니우스 합동식을 사용하여 비순환적 성질을 탐지하기.
• 직경이 1보다 작을 경우, 전순서 직경의 하한을 도출하여, 이는 적어도 하나의 근이 $ |z| \leq 2^{-1/(4n)} $ 내부에 존재하도록 강제한다.
• 대수적 수 $ \alpha $ 의 표준 높이를 노름 $ N_{K/\mathbb{Q}}(P) $ 를 통해 로그 마플 측도와 연결하며, $ c_{P/K} $ 는 최소 다항식의 주계수로 한다.
• 표준 높이 부등식을 $ \mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $ 위에서 사용하며, $ \log c_{P/K} $, $ \log^+|\alpha| $, 및 $ p $-진 분할 조건을 포함한 명시적 상한을 포함하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 비순환 모닉 정수 계수 다항식 $ P $ 는 차수 $ n $ 에 대해 $ |\alpha| \geq 2^{1/(4n)} $ 를 만족하는 근을 가질까?
• RQ2 모든 아벨 및 완전히 $ p $-진 확장의 합성체인 $ \mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $ 위에서 대수적 수의 표준 높이에 대해 균일한 하한을 확립할 수 있을까? 이는 오직 차수와 $ p $ 에만 의존한다.
• RQ3 비순환 대수적 수에 대해 $ \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $ 내에서 표준 높이에 대해 양의 하한이 존재하는가? 이는 차수에 대해 반비례하는가?
• RQ4 해석적 급수에 대해 이 방법을 $ \mathbb{Q}[[X]] $ 내의 비유리 해석적 급수로 확장할 수 있을까? 특히 $ p(X)/(X^k - 1)^m $ 의 형태가 아닌 경우에 대해.
• RQ5 모든 비순환 대수적 임계점을 가진 유리 함수는 높이의 관점에서 작은 임계값을 가질까?

주요 결과

• 차수 $ n > 1 $ 인 모든 비순환 모닉 정수 계수 기약 다항식 $ P \in \mathbb{Z}[X] $ 의 최대 근은 $ \max |\alpha| \geq 2^{1/(4n)} = 1 + \frac{\log 2}{4n} + O(1/n^2) $ 를 만족한다.
• $ \mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $ 위에서 표준 높이는 $ \frac{1}{[K:\mathbb{Q}]} \log c_{P/K} + \frac{1}{[K:\mathbb{Q}]} \sum \log^+ |\sigma(\alpha)| \geq \frac{\log 2}{n} $ 를 만족하며, $ p $ 가 분할되지 않은 경우나 $ P \in \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p}[X] $ 인 경우 더 강력한 형태로 확장된다.
• $ \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $ 위에서 비순환 대수적 수의 표준 높이는 $ h(\alpha) \geq \frac{\log 2}{p^2 n} $ 를 만족하며, $ \mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $ 에 대해서도 유사한 하한이 존재한다.
• 형태 $ p(X)/(X^k - 1)^m $ 가 아닌 비유리 해석적 급수 $ f \in \mathbb{Q}[[X]] $ 에 대해, 특수점의 수에 대해 반비례하는 균일한 높이 하한이 성립한다.
• 이 방법은 역다항식에 대한 높이 하한을 통해 특정 유리 함수에 대해 작은 임계값의 존재를 암시한다.
• $ \inf h(\alpha) \geq \frac{\log p}{p^2 n} $ 의 하한은 $ p $-진 분할 체의 예시들로 인해 상수항을 제외하고 날카로운 것으로 밝혀졌다.