[논문 리뷰] A Proof of Tsygan's Formality Conjecture for an Arbitrary Smooth Manifold

Vasiliy Dolgushev|arXiv (Cornell University)|2005. 04. 20.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 48인용 수 51

한 줄 요약

이 논문은 부드러운 다양체 위의 매끄러운 함수 대수의 호크시ลด-체인에 대해 Tsygan의 형식성 추측을 증명한다. 이를 위해 호크시ลด-코homological 및 호모로지 복합체에 대한 명시적인 Fedosov 해상법을 구성하고, 형식적 멱급수 대수에 대한 Kontsevich와 Shoikhet의 형식성 준동형을 활용한다. 핵심 결과는 호크시ลด-체인에 대해 명백하게 함의적(함의적)인 형식성 준동형으로, 이는 등변 양자화, 양자 대수의 호크시ลด-호모로지, 변형 양자화에서의 추적에 응용 가능하다.

ABSTRACT

Proofs of Tsygan's formality conjectures for chains would unlock important algebraic tools which might lead to new generalizations of the Atiyah-Patodi-Singer index theorem and the Riemann-Roch-Hirzebruch theorem. Despite this pivotal role in the traditional investigations and the efforts of various people the most general version of Tsygan's formality conjecture has not yet been proven. In my thesis I propose Fedosov resolutions for the Hochschild cohomological and homological complexes of the algebra of functions on an arbitrary smooth manifold. Using these resolutions together with Kontsevich's formality quasi-isomorphism for Hochschild cochains of R[[y_1, >..., y_d]] and Shoikhet's formality quasi-isomorphism for Hochschild chains of R[[y_1,..., y_d]] I prove Tsygan's formality conjecture for Hochschild chains of the algebra of functions on an arbitrary smooth manifold. The construction of the formality quasi-isomorphism for Hochschild chains is manifestly functorial for isomorphisms of the pairs (M, abla), where M is the manifold and abla is an affine connection on the tangent bundle. In my thesis I apply these results to equivariant quantization, computation of Hochschild homology of quantum algebras and description of traces in deformation quantization.

연구 동기 및 목표

• 임의의 부드러운 다양체 위의 매끄러운 함수 대수의 호크시ลด-체인에 대해 Tsygan의 형식성 추측을 증명하는 것.
• 매끄러운 다양체 M와 애핀 접속 ∇의 쌍 (M, ∇)에 대한 동형사상들을 존중하는 호크시ลด-체인에 대한 함의적 형식성 준동형을 구성하는 것.
• 결과를 변형 양자화 문제, 특히 등변 양자화와 양자 대수의 추적 기술에 응용하는 것.
• 포아송 다양체 위의 양자 대수로의 형식성 정리 일반화 및 복소 및 해석적 설정으로의 확장.
• 향후 순환 형식성, 상대 형식성, 변형 양자화를 통한 양자 축소에 대한 기초 도구 제공

제안 방법

• 부드러운 다양체 위의 매끄러운 함수 대수의 호크시ลด-코homological 및 호모로지 복합체에 대한 Fedosov 해상법을 구성하는 것.
• R[[y¹,…,yᵈ]]의 호크시ลด-코체인에 대한 Kontsevich의 형식성 준동형과 동일한 대수의 호크시ลด-체인에 대한 Shoikhet의 형식성 준동형을 적용하는 것.
• [13] 및 [19]의 글로벌라이제이션 기법을 사용하여 형식 이웃 주변에서 국소 형식성을 전체 다양체에서의 전역 형식성으로 확장하는 것.
• 쌍 (M, ∇)의 동형사상들을 존중하는 호크시ลด-체인에 대한 함의적 형식성 준동형을 확립하여 기하학적 자연성을 보장하는 것.
• 얻어진 형식성 준동형을 활용하여 등변 양자화, 양자 대수의 호크시ลด-호모로지, 변형 양자화에서의 추적에 관한 결과를 도출하는 것.
• 구성법을 복소 다양체 및 리 앨지브로이드로 일반화하여 해석적 설정에서 Tsygan의 형식성 추측의 한 형태를 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 부드러운 다양체 위의 매끄러운 함수 대수에 대해 Tsygan의 호크시ลด-체인 형식성 추측을 증명할 수 있는가?
• RQ2 매끄러운 다양체에 애핀 접속이 주어진 쌍 (M, ∇)의 동형사상들을 존중하는 호크시ลด-체인에 대한 함의적 형식성 준동형의 구성이 가능한가?
• RQ3 호크시ลด-체인에 대한 형식성 정리는 포아송 다양체와 관련된 양자 대수의 호크시ลด-호모로지 계산에 어떻게 응용될 수 있는가?
• RQ4 형식성 결과는 복소 또는 해석적 다양체로 확장될 수 있으며, 변형 양자화에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이 형식성 정리는 양자 축소와 포아송 오비폴드 위의 별곱의 분류에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 부드러운 다양체 위의 매끄러운 함수 대수의 호크시ลด-체인에 대해 Tsygan의 형식성 추측을 증명하여 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결한다.
• 쌍 (M, ∇)의 동형사상들을 존중하는 명백한 함의적 형식성 준동형이 구성되며, 이는 기하학적 일致성을 보장한다.
• 결과는 유한군 작용과 G-불변 포아송 구조를 갖는 다양체 위의 G-불변 별곱의 등가류에 대한 분류를 가능하게 한다.
• 형식성 정리는 X. Tang가 사용한 적절한 에탈 리 군단위의 형식 심플렉틱 변형의 호크시ลด-호모로지 계산에 응용된다.
• 구성법은 복소 다양체로 일반화되어 해석적 설정에서 Tsygan의 형식성 추측의 한 형태를 증명하며, 이전 결과를 확장한다.
• 결과는 향후 양자 축소 및 변형 양자화에서 특성류 연구에 대한 기초를 제공한다.