[논문 리뷰] A proof that a word of length n has less than 1.5n distinct squares

Adrien Thierry|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 07.

semigroups and automata theory참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 길이 $ n $인 단어에 $ 1.5n $ 미만의 서로 다른 제곱수를 포함함을 증명하며, FS 이중 제곱수—같은 위치에서 끝나는 두 제곱수의 쌍—에 대한 정교한 조합적 분석을 통해 이전의 경계를 향상시킨다. 이러한 구조 내에서 $ \alpha $, $ \beta $, $ \epsilon $, $ \eta $-형제를 도입하고 분석함으로써, 중단의 코어를 통한 분할 계산을 활용함으로써 저자들은 $ \frac{3}{2}n $의 날카운 경계를 확립하며, 오랫동안 남아 있던 제곱수의 최대 개수가 $ n $ 이하라는 프라엔켈과 심슨의 추측을 발전시킨다.

ABSTRACT

We are interested in the maximal number of distinct squares in a word. This problem was introduced by Fraenkel and Simpson, who presented a bound of 2n for a word of length n, and conjectured that the bound was less than n. Being that the problem is on repetitions, their solution relies on Fine and Wilf's Periodicity lemma. Ilie then refined their result and presented a bound of 2n-O(log n). Lam used an induction to get a bound of 95n/48. Deza, Franek and Thierry achieved a bound of 11n/6 through a combinatorial approach. Using the properties of the core of the interrupt, presented by Thierry, we refined here the combinatorial structures exhibited by Deza, Franek and Thierry to offer a bound of 3n/2.

연구 동기 및 목표

• 길이 $ n $인 단어에 포함된 서로 다른 제곱수의 수에 대한 더 날카운 상한을 확립함으로써 이전 결과를 향상시키는 것.
• Fraenkel과 Simpson이 제기한 오랜 추측—서로 다른 제곱수의 수가 $ n $ 이하라는 추측—을 $ \frac{3}{2}n $의 경계를 증명함으로써 해결하는 것.
• 같은 위치에서 끝나는 제곱수 쌍인 FS 이중 제곱수의 구조적 제약 조건을 조합적 도구와 형제 분류를 통해 분석하는 것.
• 중단의 코어를 이용해 $ \epsilon $-형제를 재정의하고 분할 계산을 통해 개선함으로써 귀납 증명을 강화하는 것.
• FS 이중 제곱수 간의 관계를 완전하고 체계적으로 분류함으로써 경계가 날카롭고 일반화 가능함을 보장하는 것.

제안 방법

• 같은 위치에서 끝나는 두 개의 서로 다른 제곱수인 FS 이중 제곱수의 개념을 사용하여 단어 내 제곱수의 다중성을 분석한다.
• 겹치는 제곱수 쌍의 수를 분류하고 경계하기 위해 $ \alpha $, $ \beta $, $ \epsilon $, $ \eta $의 네 가지 유형의 형제를 도입한다.
• Fine와 Wilf의 주기성 보조정리와 Crochemore와 Rytter의 세 제곱수 보조정리를 주기성 추론의 기초 도구로 적용한다.
• 이전의 역전 인자 대신 중단의 코어를 기반으로 한 분할 계산 전략을 사용하여 $ \epsilon $-형제를 더 잘 통제한다.
• 단어의 꼬리 $ u $와 $ v $에만 의존하는 재귀적 귀납 증명을 개발함으로써 간격에 의존하지 않고 날카운 경계를 유지한다.
• $ \beta $-형제의 구조적 제약 조건을 활용하여 가능한 $ \epsilon $-형제의 수를 제한함으로써 제곱수의 다중성을 더 엄격히 통제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 길이 $ n $인 단어에 나타날 수 있는 서로 다른 제곱수의 최대 개수는 얼마인가?
• RQ2 서로 다른 제곱수의 수에 대한 경계를 $ 2n $를 초월해 향상시킬 수 있으며, 만약 가능하면 얼마나 향상될 수 있는가?
• RQ3 특히 그 형제 관계가 중요한 FS 이중 제곱수의 구조적 성질이 서로 다른 제곱수 총수에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ4 중단의 코어를 이용한 $ \epsilon $-형제의 분할 계산은 이전 방법보다 더 날카운 경계를 도출할 수 있는가?
• RQ5 길이 $ n $인 단어에 대해 서로 다른 제곱수의 수가 $ n $ 이하라는 추측은 $ \frac{3}{2}n $에 가까운 경계에 의해 지지되는가?

주요 결과

• 논문은 길이 $ n $인 단어에 $ \frac{3}{2}n $ 이하의 서로 다른 제곱수를 포함함을 증명하며, 새로운 상한을 확립한다.
• 이 경계는 FS 이중 제곱수의 수가 $ \frac{n}{2} $ 이하임을 보여줌으로써 직접적으로 유도된다.
• $ \epsilon $-형제의 분석과 중단의 코어를 이용한 분할 계산은 귀납 증명이 단어의 꼬리에만 의존하도록 해주며, 간격에 의존하지 않는다.
• $ \beta $-형제의 존재는 가능한 $ \epsilon $-형제의 수를 제한하여 제곱수의 다중성을 더 엄격히 통제할 수 있게 한다.
• $ \alpha $, $ \beta $, $ \epsilon $, $ \eta $-형제의 분류는 겹치는 제곱수 쌍을 분석하기 위한 완전하고 체계적인 프레임워크를 제공한다.
• 이전의 경계—Deza, Franek, Thierry의 $ \frac{11}{6}n $ 및 Lam의 $ \frac{95}{48}n $—을 초월하여 $ \frac{3}{2}n $의 경계를 달성함으로써 개선된 결과를 도출한다.