[논문 리뷰] A property of a partial theta function

Vladimir Petrov Kostov|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 07.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 |q| < 1 인 경우 부분 theta 함수 θ(q,x) = ∑_{j=0}^∞ q^{j(j+1)/2}x^j 의 기본적인 구조적 성질을 규명한다. q ∈ (q̃_j, q̃_{j+1}] 인 경우, θ(q,·) 는 실근을 가지지 않는 차수 2j 의 실계수 다항식과 LP-I 클래스에 속하는 함수의 곱으로 인수분해됨을 증명한다. 모든 |q| < 1 에 대해 θ(q,·) 는 유한한 수의 중복된 영점을 가지며, 나머지 영점은 모두 단순하고 점 渐진적으로 -q^{-k} 근처에 위치한다. 또한 q ∈ (-1,0) 인 경우, θ(q,·) 는 실근을 가지지 않는 실계수 다항식과 부호가 번갈아 나오는 실근을 가지는 LP 클래스에 속하는 함수의 곱으로 분해된다.

ABSTRACT

The series $θ(q,x):=\sum _{j=0}^{\infty}q^{j(j+1)/2}x^j$ converges for $|q|&lt;1$ and defines a {\em partial theta function}. For any fixed $q\in (0,1)$ it has infinitely many negative zeros. It is known that for $q$ taking one of the {\em spectral} values $ ilde{q}_1$, $ ilde{q}_2$, $\ldots$ (where $0.3092493386\ldots = ilde{q}_1

연구 동기 및 목표

• |q| < 1 인 경우 부분 theta 함수 θ(q,x) = ∑_{j=0}^∞ q^{j(j+1)/2}x^j 의 영점 분포 및 인수분해 구조를 규명하는 것.
• 특히 스펙트럼 값 q̃_j 에서 θ(q,·) 가 중복된 실근을 가지는 조건을 규명하는 것.
• q ∈ (q̃_j, q̃_{j+1}] 인 경우, θ(q,·) 가 실근을 가지지 않는 차수 2j 의 실계수 다항식과 LP-I 클래스에 속하는 함수의 곱으로 분해됨을 증명하는 것.
• θ(q,·) 의 영점이 |k| → ∞ 일 때의 점근적 행동을 분석하여, 영점들이 -q^{-k} 근처에 집중됨을 보이는 것.

제안 방법

• θ(q,x) = ∏_k (1 + x/x_k) 의 무한곱 표현을 사용하여, 여기서 -x_k 는 θ(q,·) 의 영점이며, 함수의 수렴성과 구조를 분석한다.
• Jacobi theta 함수 Θ(q,x) 와 그 영점 집합 {−q^{-k} : k ∈ ℤ} 의 성질을 적용하여 θ(q,·) 의 영점에 대한 점근적 근사값을 유도한다.
• 순서가 0인 정칙함수 이론과 Laguerre-Pólya 클래스 LP 및 LP-I 의 성질을 활용하여, θ(q,·) 가 다항식과 LP 클래스 함수의 곱으로 어떻게 인수분해되는지 규명한다.
• 무한곱 ∏(1 + x/x_k) 의 수렴성과 θ(q,·) 의 순서가 0임을 이용하여 Weierstrass 인수분해가 상수배임을 증명하고, 따라서 θ(q,x) = ∏(1 + x/x_k) 라고 결론 내린다.
• 논문 [9] 의 정리 3 을 적용하여, 영점이 없는 정칙함수는 반드시 e^{φ} 의 형태여야 하며, x=0 에서의 정규화를 통해 φ ≡ 0 임을 도출한다.
• q ∈ (−1,0) 인 경우, 영점 집합을 실근과 복소수 쌍으로 분해하여, 실근이 부호가 번갈아 나오며, 실근에 대한 곱이 LP 클래스에 속함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 q ∈ (0,1) 인 어떤 값에서 부분 theta 함수 θ(q,·) 가 중복된 실근을 가지는가?
• RQ2 구간 (q̃_j, q̃_{j+1}] 에서 θ(q,·) 의 인수분해가 어떻게 변화하는가?
• RQ3 |q| < 1 인 고정된 q 에 대해 |k| → ∞ 일 때 θ(q,·) 의 영점의 점근적 분포는 어떠한가?
• RQ4 θ(q,·) 는 실근을 가지지 않는 실계수 다항식과 LP 또는 LP-I 클래스에 속하는 함수의 곱으로 분해될 수 있는가?
• RQ5 고정된 q 에 대해 |q| < 1 인 경우 θ(q,·) 가 최대 몇 개의 중복된 영점을 가질 수 있는가?

주요 결과

• 모든 고정된 q ∈ ℂ∖{0} 에 대해 |q| < 1 이면, 함수 θ(q,·) 는 유한한 수의 중복된 영점을 가진다.
• q ∈ (q̃_j, q̃_{j+1}] 인 경우, θ(q,·) 는 실근을 가지지 않는 차수 2j 의 실계수 다항식과 LP-I 클래스에 속하는 함수의 곱으로 분해된다.
• q ∈ (−1,0) 인 경우, θ(q,·) 는 상수항이 1이고 실근을 가지지 않는 실계수 다항식과 부호가 번갈아 나오는 실근을 가지는 LP 클래스에 속하는 함수의 곱으로 분해된다.
• 모든 고정된 q ∈ ℂ∖{0} 에 대해 |q| < 1 이고, 충분히 큰 k 에 대해, θ(q,·) 는 단순한 영점 ζ_k 를 가지며, k → ∞ 일 때 |ζ_k + q^{-k}| → 0 이다.
• 모든 q ∈ ℂ∖{0} 에 대해 |q| < 1 이면, 무한곱 표현 θ(q,x) = ∏_k (1 + x/x_k) 이 성립하며, 여기서 -x_k 는 θ(q,·) 의 영점으로 중복도를 고려하여 계산된다.
• q ∈ (−1,0) 인 경우, θ(q,·) 의 실근의 모듈러스 수열은 최종적으로 단조증가한다.