[논문 리뷰] A q-enumeration of alternating permutations

Matthieu Josuat-Vergès|arXiv (Cornell University)|2009. 07. 06.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 교차 수와 탈치환을 이용한 교대 순열의 q-수세기 방법을 제시하며, 고전적 오일러 및 로셀의 항등식을 보다 정교하게 다룬다. q-탄제ント 및 q-secant 수에 대한 닫힌 형식의 공식을 두 가지 방법—순열 표준과 가중 모츠킨 경로(Laguerre 역사)를 통해 유도함으로써, q-오일러 통계와 q-탄제ント 및 q-secant 생성함수의 연속분수 전개 간의 연결 고리를 확립한다.

ABSTRACT

A classical result of Euler states that the tangent numbers are an alternating sum of Eulerian numbers. A dual result of Roselle states that the secant numbers can be obtained by a signed enumeration of derangements. We show that both identities can be refined with the following statistics: the number of crossings in permutations and derangements, and the number of patterns 31-2 in alternating permutations. Using previous results of Corteel, Rubey, Prellberg, and the author, we derive closed formulas for both q-tangent and q-secant numbers. There are two different methods to obtain these formulas: one with permutation tableaux and one with weighted Motzkin paths (Laguerre histories).

연구 동기 및 목표

• 고전적 오일러 및 로셀의 탄제ント 및 secant 수 항등식을 교차 수와 약한 초월 수와 같은 순열 통계의 q-해석으로 보다 정교하게 다루기 위해.
• q-탄제ント 및 q-secant 수와 순열 및 탈치환에서의 교차 수와 약한 초월 수 통계 간의 연결 고리를 확립하기 위해.
• 조합적 방법을 통해 q-탄제ント 및 q-secant 수에 대한 닫힌 형식의 표현을 도출하기 위해.
• 이러한 항등식을 증명하기 위한 두 가지 다른 조합적 접근법—순열 표준과 가중 모츠킨 경로—를 통합하기 위해.

제안 방법

• 논문은 순열에서의 교차 수 통계 cr(σ)와 약한 초월 수 wex(σ)를 사용하여 대칭군 및 탈치환군 위의 부호가 붙은 합을 정교화한다.
• q-정수 [k]_q를 사용한 T-분수 형태로 q-탄제ント 및 q-secant 생성함수를 표현하기 위해 연속분수 이론을 적용한다.
• 높이에 따라 가중치가 부여되고 q의 거듭제곱이 할당되는 가중치가 있는 다이크 및 쇠르더 경로를 구성하는 방법을 사용한다.
• 기본 하이퍼기하급수 2φ1 및 히네의 변환을 포함하는 생성함수를 활용하여 경로 합을 평가한다.
• 두 가지 독립적인 증명이 제공된다: 하나는 순열 표준을 사용하고 다른 하나는 라귀 역사(Laguerre 역사, 즉 가중 모츠킨 경로)를 사용한다.
• 경로 가중치를 분해하고 하이퍼기하급수에서 계수 추출 또는 부호 반전 인보리션을 적용하여 닫힌 공식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 오일러 및 로셀의 탄제ント 및 secant 수에 대한 항등식은 교차 수와 약한 초월 수와 같은 순열 통계의 q-해석을 통해 보다 정교하게 다룰 수 있는가?
• RQ2 q-탄제ント 및 q-secant 수의 조합적 해석은 순열 표준과 가중 경로를 통해 어떻게 설명될 수 있는가?
• RQ3 wex(σ)와 cr(σ)를 포함한 순열 및 탈치환에 대한 정규화된 합은 q-탄제ント 및 q-secant 생성함수의 연속분수 전개와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 q-탄제ント 및 q-secant 사례를 모두 통합하는, 짝수/홀수에 관계없이 동일한 공식 형태의 E_n(q)가 존재하는가?
• RQ5 가중 경로 위에서 부호 반전 인보리션을 통해 E_n(q)의 닫힌 형식 표현을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 n 이 홀수일 때 ∑σ∈𝔖n (−1)^wex(σ) q^cr(σ) = (−1)^((n−1)/2) E_n(q) 이고, n 이 짝수일 때는 0임을 입증한다.
• 탈치환에 대해서는, n 이 짝수일 때 ∑σ∈𝒟_n (−1/q)^wex(σ) q^cr(σ) = (−1/q)^(n/2) E_n(q) 이고, n 이 홀수일 때는 0임을 입증한다.
• 이항계수와 q-지수에 대한 교대합을 사용하여 E_{2n+1}(q) 및 E_{2n}(q)에 대한 닫힌 형식의 공식이 도출된다.
• E_{2n+1}(q)의 공식은 (1−q)^{−(2n+1)} ∑_{k=0}^n (binom{2n+1}{n−k} − binom{2n+1}{n−k−1}) ∑_{i=0}^{2k+1} (−1)^{i+k} q^{i(2k+2−i)} 로 주어진다.
• E_{2n}(q)의 공식은 (1−q)^{−2n} ∑_{k=0}^n (binom{2n}{n−k} − binom{2n}{n−k−1}) ∑_{i=0}^{2k} (−1)^{i+k} q^{i(2k−i)+k} 로 주어진다.
• E_n(q)에 대한 통합된 표현은 (−1)^{⌊n/2⌋}/(1−q)^n 곱하기 k와 i에 대한 합으로 주어지며, 이는 이항계수의 차이와 q-지수를 포함하며, 짝수 및 홀수 n에 대해 모두 유효하다.