[논문 리뷰] A QAOA-inspired circuit for Grover's unstructured search using a transverse field

Jiang Zhang, Eleanor Rieffel외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 08.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 문제 해밀토니안(오라클)과 횡방향 필드를 번갈아가며 적용함으로써 비구조적 검색에서 거브어의 제곱근 속도 향상을 달성하는 QAOA 유사 양자 회로를 제시한다. 스핀-일관 상태 분석을 통해 전이율이 $\Theta(1/\sqrt{N})$ 정도이고, 중첩도 $\Theta(1)$ 정도임을 입증하여 $T \simeq \sqrt{N} \cdot \pi/(2\sqrt{2})$의 질의 복잡도를 도출한다. 이는 트로터화되지 않은 첫 번째 QAOA로, 양자 우월성을 확보한다.

ABSTRACT

Inspired by a class of algorithms proposed by Farhi et al., namely the quantum approximate optimization algorithm (QAOA), we present a circuit-based quantum algorithm to search for a needle in a haystack, obtaining the same quadratic speedup achieved by Grover's original algorithm. In our algorithm, the problem Hamiltonian (oracle) and a transverse field are applied alternately to the system in a periodic manner. We introduced a novel technique, a spin-coherent-state approach, to analyze the composite unitary in a single period. This composite unitary drives a closed transition between two states that have high degrees of overlap with the initial state and the target state, respectively. The transition rate in our algorithm is of order $\Theta(1/\sqrt N)$, and the overlaps are of order $\Theta(1)$, yielding a nearly optimal query complexity of $T\simeq \sqrt N (\pi/2\sqrt 2\,)$. Our algorithm is the first example of a QAOA circuit that demonstrates a quantum advantage with large number of iterations that is not derived from Trotterization of an adiabatic quantum optimization (AQO) algorithm. It also suggests that the analysis required to understand QAOA circuits involves a very different process from estimating the energy gap of a Hamiltonian in AQO.

연구 동기 및 목표

• 아드바틱 진동이나 트로터화에 의존하지 않고 거브어 알고리즘의 제곱근 속도 향상을 달성하는 QAOA 유사 양자 알고리즘을 개발하는 것.
• 문제 해밀토니안과 횡방향 필드로 구성된 주기적인 외부 자극을 받는 양자 시스템의 역학을 새로운 스핀-일관 상태 접근법을 통해 분석하는 것.
• 아드바틱이 아니며 트로터화되지 않은 QAOA 회로가 여전히 검색 문제에서 양자 우월성을 낼 수 있음을 보여주는 것.
• 아드바틱 양자 최적화에서 에너지 갭 분석과는 다름없는 일관 상태 전이의 구조와 QAOA 역학 간의 연관성을 설정하는 것.
• 초기 상태 및 목표 상태와의 높은 중첩도를 통해 거의 최적의 질의 복잡도 $T \simeq \sqrt{N} \cdot \pi/(2\sqrt{2})$를 달성하는 것.

제안 방법

• 알고리즘은 문제 해밀토니안(오라클)과 횡방향 필드를 주기적으로 번갈아 적용하여 복합 유니터리 진동을 형성한다.
• 스핀-일관 상태 접근법을 사용하여 한 주기 동안의 효과적 진동을 분석함으로써 두 상태 사이의 닫힌 전이를 식별한다.
• 복합 유니터리를 통해 초기 상태와 높은 중첩도를 가지는 상태와 목표 상태와 높은 중첩도를 가지는 상태를 식별한다.
• 이러한 상태 간의 전이율은 $\Theta(1/\sqrt{N})$로 도출되며, 검색 공간 크기의 역제곱근에 비례한다.
• 분석 결과, 초기 상태 및 목표 상태와의 중첩도가 모두 $\Theta(1)$임을 확인하여 효율적인 인구 전이가 가능함을 입증한다.
• 질의 복잡도는 $T \simeq \sqrt{N} \cdot \pi/(2\sqrt{2})$로 추정되며, 이는 이론적 최적값 $\pi\sqrt{N}/2$에 근접한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 QAOA 유사 회로가 아드바틱 진동이나 트로터화에 의존하지 않고도 거브어의 제곱근 속도 향상을 달성할 수 있는가?
• RQ2 횡방향 필드는 비아드바틱 조건에서 초기 상태와 목표 상태 사이의 간섭적 인구 전이에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 스핀-일관 상태 형식은 QAOA 회로에서 복합 유니터리 진동을 분석하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ4 제안된 알고리즘에서 전이율과 상태 중첩도의 스케일링은 어떻게 되며, 질의 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이 방법은 아드바틱 양자 최적화에서 유도되지 않았음에도 불구하고, 많은 반복 수를 거쳐도 여전히 양자 우월성을 보여주는가?

주요 결과

• 알고리즘이 $\Theta(1/\sqrt{N})$ 정도의 전이율을 달성하여 비구조적 검색에서 최적임을 입증한다.
• 진화된 상태가 초기 상태 및 목표 상태와의 중첩도가 모두 $\Theta(1)$ 정도이므로 강력한 인구 전이가 이루어짐을 나타낸다.
• 질의 복잡도는 $T \simeq \sqrt{N} \cdot \pi/(2\sqrt{2})$이며, 거브어 알고리즘의 이론적 최소값에 근접한다.
• 에너지 갭 추정을 넘어서 QAOA 역학을 이해하기 위한 새로운 분석 프레임워크를 스핀-일관 상태를 통해 제공한다.
• 이것은 아드바틱 진동이나 트로터화가 아닌 주기적 외부 자극에서 유도된 첫 번째 QAOA 회로로, 양자 우월성을 확보한다.
• 결과적으로 QAOA 분석은 아드바틱 양자 최적화에서 사용되는 도구와 근본적으로 다른 도구가 필요함을 시사한다.