[논문 리뷰] A Quadratic Lower Bound for Homogeneous Algebraic Branching Programs

Yabe, Akihiro|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 14인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 결정식 복잡도에 대한 새로운 랭크 기반 하한 기법으로 이중다항식 랭크(bi-polynomial rank)를 제안하며, 다항식을 계산하는 산술 분기 프로그램(arithmetic branching programs)의 크기에 대한 하한을 제공함을 증명한다. 실수 위에서 이는 영구행렬에 대해 (d−1)²+1의 날카로운 하한을 도출하며, 이는 이전의 d²/2 하한을 개선하고 영구행렬 대 행렬식 문제를 해결하기 위한 새로운 최적화 기반 접근법인 볼록 최소화를 제시한다.

ABSTRACT

An algebraic branching program (ABP) is a directed acyclic graph, with a start vertex s, and end vertex t and each edge having a weight which is an affine form in variables x_1, x_2, ..., x_n over an underlying field. An ABP computes a polynomial in a natural way, as the sum of weights of all paths from s to t, where the weight of a path is the product of the weights of the edges in the path. An ABP is said to be homogeneous if the polynomial computed at every vertex is homogeneous. In this paper, we show that any homogeneous algebraic branching program which computes the polynomial x_1^n + x_2^n + ... + x_n^n has at least Omega(n^2) vertices (and edges). To the best of our knowledge, this seems to be the first non-trivial super-linear lower bound on the number of vertices for a general homogeneous ABP and slightly improves the known lower bound of Omega(n log n) on the number of edges in a general (possibly non-homogeneous) ABP, which follows from the classical results of Strassen (1973) and Baur--Strassen (1983). On the way, we also get an alternate and unified proof of an Omega(n log n) lower bound on the size of a homogeneous arithmetic circuit (follows from [Strassen, 1973] and [Baur-Strassen, 1983]), and an n/2 lower bound (n over reals) on the determinantal complexity of an explicit polynomial [Mignon-Ressayre, 2004], [Cai, Chen, Li, 2010], [Yabe, 2015]. These are currently the best lower bounds known for these problems for any explicit polynomial, and were originally proved nearly two decades apart using seemingly different proof techniques.

연구 동기 및 목표

• 결정식 복잡도에 대한 새로운 랭크 기반 하한 기법을 개발하기 위해.
• 영구행렬의 결정식 복잡도에 대해 알려진 이차 하한 d²/2 를 향상시키기 위해.
• 이중다항식 랭크를 추정하기 위한 볼록 최소화 기반의 계산 프레임워크를 제공하기 위해.
• 대수적 복잡도 이론에서 영구행렬 대 행렬식 문제를 공격하기 위한 새로운 전략을 제공하기 위해.

제안 방법

• 동차다항식 p ∈ K[x](2k)의 이중다항식 랭크 b-rank(p)를 정의한다. 이는 p = Σ_{i=1}^n fi gi 를 만족하는 최소의 n 이다. 여기서 fi, gi ∈ K[x](k).
• x0 ∈ Zeros(p) 에 대해, 결정식 복잡도 dc(p) ≥ (1/2^{2k−2}) × b-rank(p(2k)_x0) − 2(k−1)D^{k−1} 을 증명한다.
• b-rank(p) 의 계산을 애핀 부분공간 Xp ⊆ Sym_n 과 양의 준정부호 행렬의 교차에서의 랭크 최소화 문제로 공식화한다.
• 볼록 최소화 이론을 적용한다: 모든 X ∈ Xp ∩ Psd_n 에 대해 n−r 개의 가장 작은 고유값의 합이 양수이면, b-rank(p) > r/2 이다.
• Xp ∩ Psd_n 를 포함하는 다면체 볼록집합 P 의 극점들을 통한 증거를 제안하여 가장 작은 고유값 합의 양수성을 검증한다.
• 이를 영구행렬에 적용하여, b-rank(perm(2k)_d,X_d) = Ω(d^{2k}) 이면 dc(permd) = Ω(d^{2k}) 임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 헤시안 랭크 방법의 고차원 일반화가 결정식 복잡도에 대한 향상된 하한을 도출할 수 있는가?
• RQ2 이중다항식 랭크가 영구행렬의 결정식 복잡도에 대해 의미 있는 하한을 제공하는가?
• RQ3 볼록 최소화 기법을 사용하여 실수 위에서 이중다항식 랭크를 효율적으로 계산하거나 하한을 구할 수 있는가?
• RQ4 영구행렬의 네 번째 도함수를 통해 dc(permd) 에 대해 Ω(d^4) 하한을 확립할 수 있는 계산 전략이 존재하는가?
• RQ5 이중다항식 랭크 프레임워크를 사용하여 영구행렬 대 행렬식 문제에 대한 새로운 최적화 이론 기반의 플립 전략을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 이중다항식 랭크는 결정식 복잡도에 대한 하한을 제공한다: dc(p) ≥ (1/2^{2k−2}) × b-rank(p(2k)_x0) − 2(k−1)D^{k−1}.
• 실수 위에서 d×d 영구행렬의 결정식 복잡도는 dc(permd) ≥ (d−1)^2 + 1 를 만족하며, 이는 이전의 d²/2 하한을 개선한다.
• 차수 2k 의 일반적인 동차다항식의 이중다항식 랭크는 최소 k! D^k / 2(2k)! 이상이며, 이는 초이차 하한의 잠재력을 시사한다.
• k=1 인 경우, 이 방법은 미gnon과 Ressayre의 헤시안 기반 하한을 회복하고 더욱 날카롭게 한다.
• 이 접근법은 고차 도함수(예: 네 번째 도함수)에 초점을 맞추어 영구행렬 대 행렬식 문제를 공격하기 위한 새로운 전략을 가능하게 한다.
• 다면체의 극점을 통한 계산 증거는, 모든 X ∈ Xp ∩ Psd_n 에 대해 n−r 개의 가장 작은 고유값의 합이 양수이면 b-rank(p) > r/2 임을 보장한다.