[논문 리뷰] A Quantitative Arrow Theorem

Elchanan Mossel|ArXiv.org|2009. 03. 14.

Game Theory and Voting Systems참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 아로우의 불가능성 정리의 정량적 버전을 수립하여, 독재자가 아닌 구성이 독립성의 원칙(IIA), 상대적 선호에 대한 최소한의 지지, 유계된 비독재성 조건을 만족할 경우, 비순서적 결과가 발생할 확률이 최소 δ > 0 이상이 되며, 이 δ는 오직 ε에만 의존함을 증명한다. 이 결과는 임의의 수의 대안 k ≥ 3에 대해 성립하며, 비균일한 대안 순위 분포에 대해서도 일반화되며, 역-하이퍼컨트랙티비티와 비선형 불변성 원리를 사용하여 역설 발생 확률을 근사한다.

ABSTRACT

Arrow's Impossibility Theorem states that any constitution which satisfies Independence of Irrelevant Alternatives (IIA) and Unanimity and is not a Dictator has to be non-transitive. In this paper we study quantitative versions of Arrow theorem. Consider $n$ voters who vote independently at random, each following the uniform distribution over the 6 rankings of 3 alternatives. Arrow's theorem implies that any constitution which satisfies IIA and Unanimity and is not a dictator has a probability of at least $6^{-n}$ for a non-transitive outcome. When $n$ is large, $6^{-n}$ is a very small probability, and the question arises if for large number of voters it is possible to avoid paradoxes with probability close to 1. Here we give a negative answer to this question by proving that for every $\eps > 0$, there exists a $δ= δ(\eps) > 0$, which depends on $\eps$ only, such that for all $n$, and all constitutions on 3 alternatives, if the constitution satisfies: The IIA condition. For every pair of alternatives $a,b$, the probability that the constitution ranks $a$ above $b$ is at least $\eps$. For every voter $i$, the probability that the social choice function agrees with a dictatorship on $i$ at most $1-\eps$. Then the probability of a non-transitive outcome is at least $δ$.

연구 동기 및 목표

• 사회선택 함수에서 비순서적 결과의 발생 확률을 근사함으로써 아로우의 불가능성 정리를 정량적으로 강화하는 것.
• 칼라이와 켈러의 이전 결과를 일반화하여, 균형 잡힌 구성과 k=3개의 대안에만 적용된 것을 임의의 k ≥ 3과 순위에 대한 일반적인 대칭 분포로 확장하는 것.
• 고도의 확률로 순서적 결과를 도출하는 IIA를 만족하는 모든 사회선택 함수를 규명하고, 결정적 투표자에 대한 구조적 제약 조건을 규명하는 것.
• 균일 분포를 초월하여 각 순위가 최소 α > 0 이상의 확률을 가지는 임의의 분포로 분석을 확장하고, 강건한 정량적 경계를 설정하는 것.

제안 방법

• 역-하이퍼컨트랙티비티를 사용하여, 순서성이 높은 확률로 성립할 경우, 두 명 이상의 다른 투표자가 비중요한 선호에 대해 동시에 결정적 영향을 미칠 수 없음을 보임.
• 비선형 불변성 원리를 적용하여, 개인 투표자가 영향력이 작은 경우(총 영향력이 낮은 경우)에 역설 발생 확률의 하한을 구함.
• 초입방체 위에서 푸리에 분석을 통한 투표자 영향력 분해를 활용하여, 저차수 푸리에 계수에 집중하여 순서성 실패를 통제함.
• 비순서적 결과의 발생 확률과 투표자들의 영향력 구조 사이의 연결 고리를 조건부 기대와 노이즈 안정성 경계를 사용하여 수립함.
• 모든 ε > 0에 대해 δ(ε) > 0가 존재하여, 구성이 독재자에 가까워지지 않으며 상대적 선호에 대한 최소 지지 조건을 만족할 경우, 역설 발생 확률이 최소 δ 이상임을 증명함.
• 최소 순위 확률 α를 사용하여 지수 항의 상수를 조정함으로써, 균일 분포에서 대칭 분포로의 결과 일반화를 수행함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 IIA, 최소한의 상대적 선호 지지, 유계된 비독재성 조건을 만족하는 사회선택 함수에서 비순서적 결과가 발생할 수 있는 최소 확률은 얼마인가?
• RQ2 정량적 아로우 정리는 순위에 대한 균일 분포를 초월하여 최소 순위 확률이 유계된 임의의 대칭 분포로 확장될 수 있는가?
• RQ3 투표자들의 영향력 구조는 IIA를 만족하는 조건 하에서 순서적 결과의 가능성에 어떤 제약을 끼치는가?
• RQ4 IIA를 만족하는 구성에서 투표자들의 영향력과 투표 역설 발생 확률 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 이 논문에서 사용된 기법들—특히 역-하이퍼컨트랙티비티와 비선형 불변성—은 기브버드-사터워스 정리와 같은 다른 사회선택 이론의 불가능성 정리에 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 ε > 0에 대해 δ(ε) > 0가 존재하여, 상대적 선호 확률이 ≥ ε이고 비독재성 확률이 ≤ 1−ε인 IIA를 만족하는 모든 구성은 비순서적 결과가 최소 δ 이상의 확률로 발생함을 보임.
• 이 경계 δ는 투표자 수 n에 영향을 받지 않으며, 오직 ε에만 의존하므로, 역설 발생 확률에 대한 균일한 하한을 제공함.
• 결과는 k ≥ 3개의 대안과 각 순위가 최소 α 이상의 확률을 가지는 대칭 분포로 일반화되며, δ = exp(−C₁ / (α ε^{C₂(α)}))이고, C₂(α) = 3 + 1/(2α²)임.
• 고도의 확률로 순서적 결과를 도출하는 구성은 매우 제한된 구조를 가져야 함: 또는 한 명의 투표자가 대체로 많은 대안 집합에서 지배적이어야 하며, 또는 영향력이 매우 집중되어야 함.
• 두 명의 투표자가 비중요한 선호에 대해 동시에 여러 번 결정적 영향을 미칠 확률이 비중요하지 않다면, 역설은 피할 수 없으며, 조건이 약간이어도 성립함.
• 비선형 불변성과 역-하이퍼컨트랙티비티의 사용은 개인 투표자가 결과에 미치는 영향력이 낮은 저영향도 영역에서 엄밀한 경계를 제공함.