[논문 리뷰] A quantitative version of James' compactness theorem

B. Cascales, Ondřej F. K. Kalenda외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 31.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간 E의 유계 집합 H의 약한* 수렴 근처에서 H와 E로의 거리를 측정하는 두 가지 새로운 약한 비컴팩트성 척도인 $\operatorname{Ja_E}(H)$ 및 $\operatorname{Ja}(H)$를 도입한다. 이는 제임스의 컴팩트성 정리의 정량적 형태를 증명하며, 닫힌 볼록 유계 집합 C의 약한* 닫힘집합이 C로부터 양의 거리에 있을 경우, 어떤 함수열 $x^*\in E^*$가 존재하여, 그 $x^*$의 약한* 최대화자 중 하나가 E로부터 최소 $r/2$ 거리 떨어져 있음을 보여주며, 여러 약한 비컴팩트성 척도 간의 동치성을 확립한다.

ABSTRACT

We introduce two measures of weak non-compactness $Ja_E$ and $Ja$ that quantify, via distances, the idea of boundary behind James' compactness theorem. These measures tell us, for a bounded subset $C$ of a Banach space $E$ and for given $x^*\in E^*$, how far from $E$ or $C$ one needs to go to find $x^{**}\in \bar{C}^{w^*}\subset E^{**}$ with $x^{**}(x^*)=\sup x^* (C)$. A quantitative version of James' compactness theorem is proved using $Ja_E$ and $Ja$, and in particular it yields the following result: {\it Let $C$ be a closed convex bounded subset of a Banach space $E$ and $r>0$. If there is an element $x_0^{**}$ in $\bar{C}^{w^*}$ whose distance to $C$ is greater than $r$, then there is $x^*\in E^*$ such that each $x^{**}\in\bar{C}^{w^*}$ at which $\sup x^*(C)$ is attained has distance to $E$ greater than $r/2$.} We indeed establish that $Ja_E$ and $Ja$ are equivalent to other measures of weak non-compactness studied in the literature. We also collect particular cases and examples showing when the inequalities between the different measures of weak non-compactness can be equalities and when the inequalities are sharp.

연구 동기 및 목표

• 제임스의 컴팩트성 정리에서의 경계 행동을 포착하는 정량적 약한 비컴팩트성 척도를 개발하는 것.
• 제임스의 고전적 컴팩트성 정리의 정량적 강화를 확립하여, 약한 컴팩트성의 실패와 이중 공간에서 포함되지 않은 점들에서만 최대값을 갖는 함수열의 존재를 연결하는 것.
• 기존의 약한 비컴팩트성 척도, 예를 들어 $\widehat{d}(\overline{C}^{w^*}, C)$ 및 $\widehat{d}(\overline{C}^{w^*}, E)$와 새로운 척도 $\operatorname{Ja_E}(H)$ 및 $\operatorname{Ja}(H)$ 간의 비교 및 관계 설정.

제안 방법

• 모든 $x^* \in E^*$에 대해 $x^{**} \in \overline{H}^{w^*}$가 존재하여 $x^{**}(x^*) = \sup x^*(H)$ 이고 $\operatorname{dist}(x^{**}, E) \leq \varepsilon$ 를 만족시키는 $\varepsilon > 0$ 의 하한으로 $\operatorname{Ja_E}(H)$ 를 정의한다.
• 모든 $x^* \in E^*$에 대해 $x^{**} \in \overline{H}^{w^*}$가 존재하여 $x^{**}(x^*) = \sup x^*(H)$ 이고 $\operatorname{dist}(x^{**}, H) \leq \varepsilon$ 를 만족시키는 $\varepsilon > 0$ 의 하한으로 $\operatorname{Ja}(H)$ 를 정의한다.
• 모든 닫힌 볼록 유계 집합 $C \subset E$ 에 대해 $\operatorname{Ja_E}(C) \geq \frac{1}{2} \widehat{d}(\overline{C}^{w^*}, C)$ 를 증명하여 정량적 하한을 확립한다.
• 약한* 수열 컴팩트성과 대각선화 기법을 활용하여 비컴팩트성의 실패를 드러내는 함수열과 원소의 수열을 구성하고, 하한을 검증한다.
• $c_0(\Gamma)$ 공간에서, $\gamma_0(H)$, $\operatorname{Ja_E}(H)$, $\operatorname{ck_E}(H)$, $\gamma(H)$ 등 표준적인 약한 비컴팩트성 척도가 모든 유계 집합 $H$ 에 대해 동일하다는 것을 보여주며, 특수한 경우에서의 정밀성과 등식을 입증한다.
• 부등식 체인과 경계의 정밀성을 보여주는 반례를 통해 고려된 모든 약한 비컴팩트성 척도 간의 동치성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한* 최대화자들이 원래 공간 또는 집합으로부터의 거리를 측정함으로써 제임스의 컴팩트성 정리를 어떻게 정량적으로 강화할 수 있는가?
• RQ2 집합의 닫힘집합이 원래 공간으로부터의 약한* 거리와, 이중 공간에서 포함되지 않은 점들에서만 최대값을 갖는 함수열의 존재 사이에 정확한 정량적 관계는 무엇인가?
• RQ3 새로운 척도 $\operatorname{Ja_E}(H)$ 및 $\operatorname{Ja}(H)$ 는 $\widehat{d}(\overline{H}^{w^*}, E)$ 및 $\gamma(H)$ 와 같은 고전적 약한 비컴팩트성 척도와 등가인가?
• RQ4 어떤 바나흐 공간에서 모든 약한 비컴팩트성 척도가 일치하는가? 이러한 등식을 가능하게 하는 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ5 다른 약한 비컴팩트성 척도 간의 부등식은 정밀한가? 이러한 정밀성을 보여주는 예시는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 임의의 바나흐 공간 E의 닫힌 볼록 유계 집합 $C$ 에 대해 $\operatorname{Ja_E}(C) \geq \frac{1}{2} \widehat{d}(\overline{C}^{w^*}, C)$ 를 증명하며, 제임스 정리의 정량적 형태를 제공한다.
• $c_0(\Gamma)$ 공간에서, 모든 표준적인 약한 비컴팩트성 척도, 즉 $\gamma_0(H)$, $\operatorname{Ja_E}(H)$, $\operatorname{ck_E}(H)$, $\gamma(H)$ 가 임의의 유계 집합 $H \subset E$ 에 대해 동일하다는 것을 보여주며, 비반사 공간에서의 등식을 입증한다.
• $\operatorname{Ja_E}(H)$ 및 $\operatorname{Ja}(H)$ 가 $\gamma(H)$, $\operatorname{ck_E}(H)$, $\widehat{d}(\overline{H}^{w^*}, E)$ 등의 알려진 척도와 일반 조건 하에서 등가임을 보여준다.
• 논문은 부등식 $\operatorname{Ja_E}(C) \geq \frac{1}{2} \widehat{d}(\overline{C}^{w^*}, C)$ 가 정밀함을 보여주는 예를 구성하며, 특정 경우에 등식이 성립할 수 있음을 보여준다.
• 분리 가능한 바나흐 공간 중 코르손 성질 $\mathcal{C}$ 를 가진 공간에서는 $\operatorname{ck_E}(H) = \widehat{d}(\overline{H}^{w^*}, E)$ 이며, 이러한 공간에서 척도 간의 부등식은 엄밀할 수 있음을 보여주며, 단지 가능성이 $\operatorname{Ja}(C) \leq \operatorname{ck}(C)$ 에서만 등식이 성립할 수 있다.
• 논문은 $\gamma_0(H) \geq \gamma(H)$ 를 증명하며, $c_0(\Gamma)$ 에서는 등식이 성립함을 확인하여, 새로운 척도가 기존 이론과 일관되며 약한 비컴팩트성에 대한 통합적 프레임워크를 제공함을 확인한다.