[논문 리뷰] A Quantum Algorithm for Testing Juntas in Boolean Functions

Khaled El-Wazan, Ahmed Younes외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 09.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 부울 함수의 특정 변수가 임의의 변수인지(즉, 함수의 출력에 영향을 주지 않는지) 또는 $\epsilon$-거리로 임의의 변수에서 벗어나 있는지를 테스트하기 위한 새로운 양자 알고리즘을 제안한다. 함수의 블랙박스 두 개를 사용하여, $x_i$가 임의의 변수이면 상수 0이 되는 새로운 함수 $g_{x_i}$를 구성하고, 그렇지 않으면 적어도 하나의 해를 가지게 한다. 그 후 부분 확산 연산자를 사용한 앰플리튜드 강화를 적용하여 두 경우를 $\mathcal{O}(\sqrt{2^n})$ 쿼리 내에 구분한다.

ABSTRACT

Given a Boolean function $f$ provided as a black-box with $n$ variables, this paper will propose a quantum algorithm for testing if a certain variable is junta or $ε$-far from being junta. The proposed algorithm constructs another black-box using two copies of the provided black-box. The constructed black-box is used with the partial diffusion operator in an amplitude amplification technique to test whether the variable being tested is junta or not, using $\mathcal{O}(\sqrt{2^n})$ queries to the constructed black-box. The proposed algorithm considers a Boolean function of general form, contrary to relevant algorithms proposed by others.

연구 동기 및 목표

• 일반 부울 함수의 특정 입력 변수가 임의의 변수이거나 $\epsilon$-거리로 임의의 변수에서 벗어나 있는지를 테스트하는 양자 알고리즘을 개발하는 것.
• 이전 알고리즘들이 선형 또는 단일 항 함수와 같은 제한된 클래스의 부울 함수에 대해서만 작동하는 한계를 해결하는 것.
• 함수의 형태에 관계없이 적용 가능한 일반 목적의 솔루션을 제공하고, 최소 $2/3$의 성공 확률을 보장하는 것.
• 특히 함수의 구조가 알려져 있거나 복잡한 경우에, 고전적 방법과 이전의 양자 방법보다 제곱근의 속도 향상을 달성하는 것.

제안 방법

• 테스트할 변수 $x_i$를 사용하여 원래 부울 함수 $f$의 두 복사본으로부터 새로운 블랙박스 함수 $g_{x_i}$를 구성한다.
• 표준 기저 벡터 $e_i$에 대해 $g_{x_i}(x) = f(x) \oplus f(x \oplus e_i)$로 정의하여 $x_i$에 대한 의존성을 탐지한다.
• 해의 앰플리튜드를 강화하기 위해 부분 확산 연산자를 사용한 앰플리튜드 강화를 적용하여 $g_{x_i}$의 해가 있는지 여부를 효율적으로 탐지한다.
• 두 경우를 구분한다: $g_{x_i}$가 식별적으로 0이면 ($x_i$가 임의의 변수임을 나타냄) 또는 적어도 하나의 해를 가짐 ($x_i$가 임의의 변수가 아님을 나타냄).
• 해의 수가 알려져 있지 않기 때문에, 해의 수에 대한 사전 지식이 필요 없는 강건한 앰플리튜드 강화 기법을 사용한다.
• 알고리즘은 생성된 블랙박스 $g_{x_i}$에 대해 $\mathcal{O}(\sqrt{2^n})$ 쿼리를 사용하여 고전적 방법보다 제곱근의 속도 향상을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 부울 함수의 단일 변수가 임의의 변수이거나 $\epsilon$-거리로 임의의 변수에서 벗어나 있는지를 테스트할 수 있는 양자 알고리즘은 존재하는가?
• RQ2 비선형적이고 다중 항을 포함한 함수를 포함한 모든 부울 함수에 대해, 사전 구조적 가정 없이 작동하는 양자 알고리즘은 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ3 생성된 블랙박스 함수를 사용한 양자 앰플리튜드 강화를 통해 임의의 변수 테스트의 쿼리 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 제안된 알고리즘의 성능은 선형 또는 단일 항 함수와 같은 특정 함수 클래스에 국한된 이전의 양자 알고리즘과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ5 알고리즘이 $g_{x_i}$의 해의 수를 알지 못해도 높은 성공 확률($\geq 2/3$)을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 함수의 형태에 관계없이 변수 $x_i$가 임의의 변수이거나 $\epsilon$-거리로 임의의 변수에서 벗어나 있는지를 테스트하기 위해 $\mathcal{O}(\sqrt{2^n})$ 쿼리 복잡도를 달성한다.
• 만약 $x_i$가 임의의 변수이면 생성된 함수 $g_{x_i}$는 식별적으로 0(상수)이 되고, 그렇지 않으면 적어도 하나의 해를 가지게 되어 앰플리튜드 강화를 통해 명확히 구분할 수 있다.
• 이전 방법들이 선형 또는 단일 항 형태에 국한되는 것과 달리, 이 알고리즘은 비선형적이고 다중 항 함수를 포함한 모든 부울 함수에 대해 작동한다.
• 특히 함수의 구조가 알려져 있거나 복잡한 경우에, 고전적 방법과 이전의 양자 알고리즘(예: Floess 등)보다 제곱근의 속도 향상을 제공한다.
• 모든 부울 함수에 대해 성공 확률가 최소 $2/3$이며, $g_{x_i}$의 해의 수에 대한 사전 지식이 필요 없어 강건하고 일반적인 솔루션을 제공한다.
• 도수 $m$인 단일 항 함수의 경우, 알고리즘은 $\mathcal{O}(\sqrt{2^m})$ 쿼리가 필요하며, 이는 Floess 등이 제안한 $\mathcal{O}(2^m)$ 오라클 호출에 비해 제곱근의 개선이다.