[논문 리뷰] A quantum algorithm to solve nonlinear differential equations

Sarah K. Leyton, Tobias J. Osborne|ArXiv.org|2008. 12. 23.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 14인용 수 65

한 줄 요약

이 논문은 다항 비선형성을 가진 희박한 비선형 상미분방정식(ODE) 시스템을 해결하기 위한 양자 알고리즘을 제시한다. 이 알고리즘은 양자 진폭 비선형성과 양자적 오일러 방법의 구현을 활용하며, 변수 수에 대해 다항로그 스케일링을 달성하고 적분 시간에 대해 지수적 스케일링을 보이며, 이러한 시스템에 대해 고전적 방법에 비해 지수적 속도 향상을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we describe a quantum algorithm to solve sparse systems of nonlinear differential equations whose nonlinear terms are polynomials. The algorithm is nondeterministic and its expected resource requirements are polylogarithmic in the number of variables and exponential in the integration time. The best classical algorithm runs in a time scaling linearly with the number of variables, so this provides an exponential improvement. The algorithm is built on two subroutines: (i) a quantum algorithm to implement a nonlinear transformation of the probability amplitudes of an unknown quantum state; and (ii) a quantum implementation of Euler's method.

연구 동기 및 목표

• 다항 비선형성을 가진 대규모 희박한 비선형 ODE 시스템을 효율적으로 해결할 수 있는 양자 알고리즘을 개발하는 것.
• 미지의 양자 상태로 표현된 ODE 해에 대한 비선형 변환을 구현하는 데 도전하는 것.
• 이전의 선형 시스템을 위한 양자 알고리즘에 기반하여 선형에서 비선형 미분방정식으로의 양자 우월성을 확장하는 것.
• 오르사그-맥클라우린 시스템과 이산 비선형 샤르레드링어 방정식과 같은 복잡한 동역학 시스템의 효율적 시뮬레이션을 가능하게 하는 것.
• 같은 시간 통계를 갖는 결정론적 동역학 시스템에 대해 얽힌 초기 상태를 통해 양자 알고리즘의 실현 가능성을 탐색하는 것.

제안 방법

• 알고리즘은 해 벡터를 인코딩하는 양자 상태의 진폭에 대한 비선형 변환을 구현하기 위해 비결정론적 양자 서브루틴을 사용한다.
• 두 개의 양자 상태 복제본을 활용하여 텐서 곱 상태를 통해 이차항을 생성함으로써 이차 다항식 매핑을 가능하게 한다.
• 정규화를 유지하기 위해 측도 보존 변환을 강제로 적용하며, 성공 확률은 진폭 증폭을 통해 제어된다.
• 오일러 방법은 단계 크기 h를 반복적으로 적용하여 비선형 변환을 시행함으로써 양자적으로 구현되며, ODE의 진화를 근사한다.
• 이 방법은 변수 수 n에 대해 다항로그 스케일링을 보이며, 1/h와 적분 시간 t에 대해 지수적 스케일링을 보인다.
• 고차 비선형성(삼차 등)을 다루기 위한 확장은 각 단계에서 상태의 세 개 이상의 복제본을 소비함으로써 가능하다. 또한, 엽연된 초기 상태를 통해 같은 시간 통계를 계산할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 알고리즘이 선형 시스템의 범위를 넘어서 다항 비선형성을 가진 비선형 ODE 시스템을 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 미지의 양자 상태에 대한 비선형 진폭 변환을 구현하는 데 드는 자원 비용은 무엇인가?
• RQ3 희박한 비선형 ODE에 대해 양자 오일러 방법을 효율적으로 구현할 수 있는가? 이 경우 시간과 단계 크기에 대해 지수적 스케일링이 이루어지는가?
• RQ4 오르사그-맥클라우린 시스템이나 이산 비선형 샤르레드링어 방정식과 같은 복잡한 동역학 시스템을 얼마나 잘 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ5 양자 진폭 진화와 얽힌 상태를 사용하여 결정론적 동역학 시스템의 같은 시간 통계를 효율적으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 알고리즘은 변수 수 n에 대해 다항로그 스케일링을 달성하며, 이는 고전적 방법이 n에 대해 선형으로 스케일링하는 것에 비해 지수적 속도 향상을 나타낸다.
• 자원 요구량은 역수 단계 크기 h와 적분 시간 t에 대해 지수적으로 증가하므로, 실용적 응용은 짧은 적분 시간 또는 작은 h에 국한된다.
• 비선형 항이 효율적으로 계산 가능한 다항식인 희박한 시스템에 적용 가능하며, 특히 ∑|zⱼ|²의 노름을 유지하는 경우에 적합하다.
• 이차 비선형성을 가진 시스템의 경우, 알고리즘은 두 개의 양자 상태 복제본을 사용하여 텐서 곱 상태를 통해 필요한 진폭 변환을 구현한다.
• 각 단계에서 상태의 세 개 이상의 복제본을 소비함으로써 삼차 이상의 고차 비선형성으로의 확장이 가능하다.
• 양자 상태의 진화를 통해 엽연된 초기 상태를 이용하고 보조 레지스터를 측정함으로써 결정론적 시스템의 같은 시간 통계를 효율적으로 샘플링할 수 있다.