[논문 리뷰] A quasi-Monte Carlo Method for an Optimal Control Problem Under Uncertainty

Philipp A. Guth, Vesa Kaarnioja외 3명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 22.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 25인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 불확실성 하에서 PDE 제약 최적 제어 문제를 해결하기 위해 무작위로 이동된 랭크-1 레이어 규칙을 사용하는 준몬테카를로(QMC) 방법을 제안한다. 저이량성 수열과 음이 아닌 가중치를 활용함으로써, 이 방법은 적분 노드 수의 역수 비례로 오차가 감소하며, 볼록성은 유지하면서 표준 몬테카를로 방법보다 수렴 속도가 빠르다.

ABSTRACT

We study an optimal control problem under uncertainty, where the target function is the solution of an elliptic partial differential equation with random coefficients, steered by a control function. The robust formulation of the optimization problem is stated as a high-dimensional integration problem over the stochastic variables. It is well known that carrying out a high-dimensional numerical integration of this kind using a Monte Carlo method has a notoriously slow convergence rate; meanwhile, a faster rate of convergence can potentially be obtained by using sparse grid quadratures, but these lead to discretized systems that are non-convex due to the involvement of negative quadrature weights. In this paper, we analyze instead the application of a quasi-Monte Carlo method, which retains the desirable convexity structure of the system and has a faster convergence rate compared to ordinary Monte Carlo methods. In particular, we show that under moderate assumptions on the decay of the input random field, the error rate obtained by using a specially designed, randomly shifted rank-1 lattice quadrature rule is essentially inversely proportional to the number of quadrature nodes. The overall discretization error of the problem, consisting of the dimension truncation error, finite element discretization error and quasi-Monte Carlo quadrature error, is derived in detail. We assess the theoretical findings in numerical experiments.

연구 동기 및 목표

• 확률적 PDE 계수를 가진 강건 최적 제어 문제에서 발생하는 고차원 적분 문제를 해결하기 위해.
• 고차원 스토케스틱 적분에서 표준 몽테카를로 방법의 느린 수렴 문제를 극복하기 위해.
• 스parse grid 적분에서 음수 가중치로 인해 손실되는 최적 제어 문제의 볼록성 구조를 유지하기 위해.
• 차원 절단, 유한요소 이산화, QMC 적분 오차에 대한 오차 경계를 통합된 프레임워크에서 유도하고 분석하기 위해.
• 수치 실험을 통해 방법의 효과성을 입증하고, 수렴 속도를 검증하기 위해.

제안 방법

• 스토케스틱 매개변수 $\boldsymbol{y} \in \Xi = [-1/2, 1/2]^\mathbb{N}$ 에 대한 고차원 적분을 근사하기 위해 무작위로 이동된 랭크-1 레이어 적분 규칙을 사용한다.
• 스토케스틱 계수 $a(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$ 는 $\bar{a}(\boldsymbol{x}) + \sum_{j \geq 1} y_j \psi_j(\boldsymbol{x})$ 의 선형 매개변수 전개로 모델링되며, $y_j$ 는 $[-1/2, 1/2]$ 에서 독립적으로 동일하게 분포한다.
• 최적 제어 문제는 상태 $u$ 와 목표값 $u_0$ 간의 기대 제곱차이를 포함한 기능을 최소화하는 방식으로 설정되며, 티히콘로프 정규화 항이 포함된다.
• 공간 영역 $\Omega = (0,1)^2$ 는 메쉬 너비 $h = 2^{-6}$ 를 갖는 유한요소 방법으로 이산화된다.
• 스토케스틱 적분은 차원 $s = 2^{12}$ 에서 절단되며, 결과적으로 $n = 2^{15}$ 개의 점을 사용하는 단일 무작위 이동을 갖는 적분이 수행된다.
• 제어 $z$ 의 범위를 유지하기 위해 프로젝션 경사하강법과 어미조 규칙을 사용하여 이산화된 최적화 문제를 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비음수 가중치를 갖는 준몬테카를로 방법을 사용하여 고차원 스토케스틱 최적 제어 문제에서 더 빠른 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 PDE 제약 문제에 대해 무작위로 이동된 랭크-1 레이어 규칙을 사용할 경우 QMC 적분 오차의 수렴 속도는 어떻게 되는가?
• RQ3 차원 절단, 유한요소 이산화, QMC 적분 오차의 병합 오차는 전체 해상에서 어떻게 척도화되고 상호작용하는가?
• RQ4 스parse grid 방법과는 달리, QMC 접근법은 최적 제어 문제의 볼록성을 유지하는가?
• RQ5 이론적 오차 경계는 수치적으로 검증 가능하며, 실험에서 관측된 수렴 속도와 일치하는가?

주요 결과

• 무작위로 이동된 랭크-1 레이어 규칙을 사용하는 QMC 방법은 상태 PDE에 대해 $\mathcal{O}(n^{-1.01080})$ 의 수렴 속도를, 양함수 PDE에 대해 $\mathcal{O}(n^{-1.012258})$ 의 수렴 속도를 보이며, $\mathcal{O}(n^{-1})$ 에 가까워진다.
• 비음수 적분 가중치를 사용함으로써 QMC 방법은 스파ARSE 그리드 적분과 달리 최적 제어 문제의 볼록성을 유지한다.
• 차원 절단, 유한요소 이산화, QMC 오차를 병합한 총 이산화 오차는 유계이며, 적분 노드 수의 역수 비례로 수렴한다.
• 수치 실험은 이론적 수렴 속도를 확인하며, 더 큰 정규화 매개변수 $\alpha = 0.1$ 에서 더 빠른 수렴을 보여준다.
• 프로젝션 경사하강법 알고리즘이 목적 기능을 성공적으로 최소화하며, 제어는 지정된 범위 내에서 타당하고 유계인 해로 수렴한다: $z_{\min} \leq z \leq z_{\max}$.
• 결과는 이 방법을 다수준 및 다중색인 QMC 전략, 고차원 QMC 규칙, 다른 목적 함수로 확장할 수 있는 잠재력을 시사한다.