[논문 리뷰] A Qubit, a Coin, and an Advice String Walk Into a Relational Problem

Scott Aaronson, Harry Buhrman외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 02. 20.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양자 다항시간과 다항 크기의 양자 조언을 가진 관계 문제를 해결할 수 있는 복잡도 계열 FBQP/qpoly를 정의하고 연구하며, 이를 통해 FBQP/qpoly ≠ FBQP/poly임을 조건 없이 증명한다. 이는 决정 클래스와는 뚜렷하게 대비되며, Bar-Yossef, Jayram, 및 Kerenidis의 양자 단방향 통신 복잡도 격차를 재활용하여, 양자 조언이 있는 경우에만 해결 가능한 관계 문제를 구성함으로써 이를 달성한다. 이는 비정상적인 가정 없이도 근접한 실험적 '양자 정보 우월성'을 입증할 수 있는 길을 열어준다.

ABSTRACT

Relational problems (those with many possible valid outputs) are different from decision problems, but it is easy to forget just how different. This paper initiates the study of FBQP/qpoly, the class of relational problems solvable in quantum polynomial-time with the help of polynomial-sized quantum advice, along with its analogues for deterministic and randomized computation (FP, FBPP) and advice (/poly, /rpoly). Our first result is that FBQP/qpoly ≠ FBQP/poly, unconditionally, with no oracle - a striking contrast with what we know about the analogous decision classes. The proof repurposes the separation between quantum and classical one-way communication complexities due to Bar-Yossef, Jayram, and Kerenidis. We discuss how this separation raises the prospect of near-term experiments to demonstrate "quantum information supremacy," a form of quantum supremacy that would not depend on unproved complexity assumptions. Our second result is that FBPP ̸ ⊂ FP/poly - that is, Adleman’s Theorem fails for relational problems - unless PSPACE ⊂ NP/poly. Our proof uses IP = PSPACE and time-bounded Kolmogorov complexity. On the other hand, we show that proving FBPP ̸ ⊂ FP/poly will be hard, as it implies a superpolynomial circuit lower bound for PromiseBPEXP. We prove the following further results: - Unconditionally, FP ≠ FBPP and FP/poly ≠ FBPP/poly (even when these classes are carefully defined). - FBPP/poly = FBPP/rpoly (and likewise for FBQP). For sampling problems, by contrast, SampBPP/poly ≠ SampBPP/rpoly (and likewise for SampBQP).

연구 동기 및 목표

• BQP에 대한 양자 조언을 가진 관계적 동반자인 FBQP/qpoly를 체계적으로 정의하고 연구하며, 고전적 및 랜덤화된 조언을 가진 동반자도 함께 고려한다.
• Adleman의 정리(BPP ⊂ P/poly)가 관계 문제로 확장되는지 조사하고, 그 확장이 실패하는 조건을 밝혀내는 것.
• 관계 계산에서의 양자 조언의 능력을 탐색하고, 근접한 실험적 검증을 통한 양자 우월성의 잠재력을 규명하는 것.
• 조언이 있을 때 샘플링 클래스와 관계 클래스의 차이를 명확히 하는 것, 특히 SampBPP/poly와 SampBPP/rpoly의 차이를 분석하는 것.
• 비구성적 확률적 방법에 의존하지 않고도 FBQP/qpoly와 FBQP/rpoly를 분리하는 명시적이고 구성 가능한 문제를 규명하는 것.

제안 방법

• Bar-Yossef, Jayram, 및 Kerenidis의 양자 단방향 통신 복잡도 격차를 재활용하여, FBQP/qpoly에 속하지만 FBQP/poly에 속하지 않는 관계 문제를 구성한다.
• 시간 제한된 콜모고로프 복잡도와 시간 제한된 정지 문제를 사용하여, FP에 속하지 않는 FBPP에 속하는 명시적 문제의 예를 구성한다.
• IP = PSPACE와 시간 제한된 콜모고로프 복잡도를 적용하여, PSPACE ⊂ NP/poly가 성립하지 않는 한 FBPP ⊄ FP/poly임을 보인다.
• 샘플링 문제를 그 관계적 동반자와 연결하고, 총 변동 거리(total variation distance)를 사용하여 오차를 제한함으로써 SampBQP/rpoly ≠ SampBQP/qpoly임을 증명한다.
• 세지수와 확률적 방법을 적용하여, 일부 샘플링 문제가 랜덤화된 고전적 조언이 있더라도 SampBPP/poly에 속하지 않는다는 것을 보인다.
• 양자 조언 상태를 준비하는 데 필요한 회로 복잡도를 분석하고, 간단한 측정(예: 단일 큐비트 측정)만으로도 분리를 달성할 수 있는지 고려한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 FBQP/qpoly는 FBQP/poly보다 엄격히 큰가? 만약 그렇다면, 오라클 없이도 이를 조건 없이 증명할 수 있는가?
• RQ2 관계 문제에 대해 Adleman의 정리가 실패하는가? 그리고 이 정리가 성립하기 위해 필요한 복잡도 이론적 가정은 무엇인가?
• RQ3 FBQP/qpoly와 FBQP/rpoly 사이의 분리는 비구성적 확률적 방법에 의존하지 않고도 명시적으로 만들 수 있는가?
• RQ4 이러한 분리를 가능하게 하는 양자 조언 상태를 준비하는 데 필요한 최소한의 회로 복잡도는 얼마인가?
• RQ5 이 분리는 근접한 실험적 '양자 정보 우월성' 검증으로 활용될 수 있는가?

주요 결과

• FBQP/qpoly ≠ FBQP/poly임이 조건 없이 증명되었으며, 오라클이 필요 없이도 양자 조언과 고전적 조언 간의 관계 계산에서 근본적인 격차가 존재함을 보여준다.
• 이 분리는 기존의 양자 단방향 통신 복잡도 격차를 재활용하여 달성되었으며, n 큐비트의 양자 조언이 있을 경우에만 해결 가능한 관계 문제는 고전적 랜덤화된 조언으로는 최소 Ω(2^n/2) 비트의 정보가 필요하다는 것을 보여준다.
• PSPACE ⊂ NP/poly가 성립하지 않는 한 FBPP ⊄ FP/poly임을 보여, Adleman의 정리가 표준 복잡도 가정 하에 관계 문제로는 확장되지 않음을 입증한다.
• FBPP/poly = FBPP/rpoly 이며 FBQP/poly = FBQP/rpoly 이지만, SampBPP/poly ≠ SampBPP/rpoly 이며 SampBQP/poly ≠ SampBQP/rpoly임을 보여, 샘플링 클래스와 관계 클래스 사이에 핵심적인 비대칭성이 존재함을 밝혀낸다.
• 샘플링 문제의 출력 분포를 고전적 랜덤화된 조언으로는 시뮬레이션할 수 없기 때문에 SampBQP/rpoly ≠ SampBQP/qpoly임을 보였다.
• 논문은 관계 문제에 대해 고전적 조언의 하한이 양자 조언 크기와 동일한 Ω(2^n)에 도달할 수 있을 것이라 추측하지만, 현재의 하한은 Ω(2^n/2)에 그친다.