[논문 리뷰] A quenched invariance principle for stationary processes

Christophe Cuny, Dalibor Volný|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 22.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 18인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 한난 조건을 만족하는 stationary process에 대해 quenched invariance principle를 수립하며, 조건부 중심화된 partial sum이 quenched 측도 하에 almost surely로 Brownian motion으로 약하게 수렴함을 증명한다. 주요 기여는 중심화된 합 과정을 정 stationarity를 갖는 martingale와 커플링함으로써, 한난 조건 하에서 기능 central limit theorem의 quenched 수렴을 보장하는 것이다.

ABSTRACT

In this note, we prove a conditionally centered version of the quenched weak invariance principle under the Hannan condition, for stationary processes. In the course, we obtain a (new) construction of the fact that any stationary process may be seen as a functional of a Markov chain.

연구 동기 및 목표

• 한난 조건 하에서 stationary process에 대해 quenched weak invariance principle를 수립하여, quenched central limit theorem을 기능 수렴으로 확장한다.
• 조건부 중심화된 합 과정 $ \bar{S}_n = S_n - \mathbb{E}_0(S_n) $ 가 한난 조건 하에서 quenched weak invariance principle를 만족함을 보인다.
• 모든 stationary process가 조건부 기대값 연산자 $ Q $ 를 통해 Markov chain의 functional로 표현될 수 있음을 보여주는 새로운 구성법을 제시한다.
• 정규화된 경로 $ \bar{S}_n(t)/\sqrt{n} $ 이 $ \mu $-a.s. quenched 측도 하에서 표준 Brownian motion으로 quenched 수렴함을 보인다.

제안 방법

• 조건부 기대값 연산자 $ Qh = \mathbb{E}_0(h \circ \theta) $ 를 사용하여 Markov 전이 커널을 정의하고, 기저 process의 stationary Markov chain 표현을 구성한다.
• 이동 연산자 $ \theta $ 의 스펙트럼 성질을 활용하여 중심화된 합 $ \bar{S}_n(f) $ 를 martingale 증분의 급수로 분해한다. 여기서 $ f_i = P_0(U^i f) $ 이다.
• Doob 최대부등식을 조건부로 적용하여 $ \mathbb{E}_0(\max_{1 \leq n \leq N} \bar{S}_n^2) $ 를 제어하고, quenched setting에서 $ L^2 $-유형의 bound를 도출한다.
• Dunford-Schwartz ergodic 정리와 약한 $ L^2 $-공간 추정을 적용하여 $ (f_i^2)^* $ 의 최대함수를 제어하고, $ \mu $-a.s. 수렴 하에서 적분 가능성을 확보한다.
• 모든 $ \mu $-a.s. 에 대해 $ \mathbb{E}_0(\max_{1 \leq n \leq N} (\bar{S}_n - M_n)^2) = o(N) $ 를 만족하는 martingale $ (M_n) $ 을 구성함으로써, quenched 의미에서의 渐近적 등가성을 증명한다.
• martingale와의 커플링과 연속함수 정리에 기반하여, 유한차원 분포의 수렴성과 컴팩트니스를 이용하여 quenched 약수렴을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 한난 조건을 만족하는 stationary process에 대해 quenched weak invariance principle가 성립하는가?
• RQ2 조건부 중심화된 합 과정 $ \bar{S}_n $ 이 quenched $ L^2 $-의미에서 martingale로 근사될 수 있는가?
• RQ3 모든 stationary process가 조건부 기대값 연산자 $ Q $ 를 통해 stationary Markov chain의 functional로 표현될 수 있는가?
• RQ4 정규화된 경로 $ \bar{S}_n(t)/\sqrt{n} $ 에 대해 quenched functional central limit theorem이 어떤 조건에서 성립하는가?
• RQ5 연산자 $ Q $ 는 stationary process의 Markovian 표현을 어떻게 촉진하는가?

주요 결과

• Quenched weak invariance principle는 성립한다: $ \mu $-a.s. $ x $ 에 대해, $ \bar{S}_n(t)/\sqrt{n} $ 의 quenched 법칙은 표준 Brownian motion $ \sigma W_t $ 의 법칙으로 약하게 수렴한다.
• 조건부 중심화된 합 과정 $ \bar{S}_n $ 은 $ \mathbb{E}_0(\max_{1 \leq n \leq N} (\bar{S}_n - M_n)^2) = o(N) $ $ \mu $-a.s. 를 만족하며, 정 stationarity를 갖는 증분을 갖는 martingale $ (M_n) $ 과 渐近적 등가성을 보여준다.
• 한난 조건 하에서 한계 분산 $ \sigma^2 = \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}(S_n^2)/n $ 이 존재하고, $ \mu $-a.s. 유한하다.
• $ \sum_{n \geq 1} \frac{\|\mathbb{E}_0(X_n)\|_2}{\sqrt{n}} < \infty $ 조건은 한난 조건을 함의하며, $ S_n(t) $ 에 대해 quenched WIP를 보장한다. 단지 $ \bar{S}_n(t) $ 에서만이 아니라.
• 연산자 $ Q $ 를 통한 새로운 Markov chain 표현이 구성되었으며, 모든 stationary process가 전이 커널 $ Q(x, dy) = \mu(x, dy) $ 를 갖는 stationary, time-homogeneous Markov chain의 functional로 나타남을 보여준다.
• 최대함수 $ ((f_i^2)^*)^{1/2} $ 는 약한 $ L^2 $-공간 $ L^{2,w} $ 에 속하며, 이는 quenched 최대 $ L^2 $-노름의 거의 확실히 유한함을 보장한다.