[논문 리뷰] A random Schrödinger operator associated with the Vertex Reinforced Jump Process on infinite graphs

Christophe Sabot, Xiaolin Zeng|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 28.

Random Matrices and Applications참고 문헌 3인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 유한 그래프에서의 정점 강화 점프 과정(VRJP) 표현을 무한 그래프로 확장하여, 1-의존적인 랜덤 잠재력과 함께 랜덤 슈뢰딩거 연산자를 사용한 마르코프 점프 과정의 혼합으로 표현한다. 이는 $ℚ^d$에서의 VRJP 및 ERRW의 재귀성 또는 비재귀성에 대해 0-1 법칙을 증명하고, $d \geq 3$에서 약한 강화 조건 하에서 기능 중심극한정리(functional central limit theorem)를 도출하며, 모든 일정한 초기 가중치에 대해 $d=2$에서 ERRW의 재귀성을 확인한다.

ABSTRACT

This paper concerns the Vertex reinforced jump process (VRJP), the Edge reinforced random walk (ERRW) and their link with a random Schrödinger operator. On infinite graphs, we define a 1-dependent random potential $β$ extending that defined in [20] on finite graphs, and consider its associated random Schrödinger operator $H_β$. We construct a random function $ψ$ as a limit of martingales, such that $ψ=0$ when the VRJP is recurrent, and $ψ$ is a positive generalized eigenfunction of the random Schrödinger operator with eigenvalue $0$, when the VRJP is transient. Then we prove a representation of the VRJP on infinite graphs as a mixture of Markov jump processes involving the function $ψ$, the Green function of the random Schrödinger operator and an independent Gamma random variable. On ${\mathbb Z}^d$, we deduce from this representation a zero-one law for recurrence or transience of the VRJP and the ERRW, and a functional central limit theorem for the VRJP and the ERRW at weak reinforcement in dimension $d\ge 3$, using estimates of [10,8]. Finally, we deduce recurrence of the ERRW in dimension $ d=2$ for any initial constant weights (using the estimates of Merkl and Rolles, [15,17]), thus giving a full answer to the old question of Diaconis. We also raise some questions on the links between recurrence/transience of the VRJP and localization/delocalization of the random Schrödinger operator $H_β$.

연구 동기 및 목표

• 유한 그래프에서의 VRJP 표현을 무한 그래프로 확장한다.
• VRJP 및 ERRW의 $ℚ^d$에서의 재귀성 또는 비재귀성에 대해 0-1 법칙을 수립한다.
• VRJP 및 ERRW의 약한 강화 조건 하에서 $d \geq 3$에서 기능 중심극한정리를 증명한다.
• Diaconis의 추측, 즉 모든 일정한 초기 가중치에 대해 $d=2$에서 ERRW의 재귀성 문제를 해결한다.
• VRJP의 재귀성/비재귀성과 관련된 랜덤 슈뢰딩거 연산자 $H_\beta$의 국소화/비국소화 사이의 관계를 탐색한다.

제안 방법

• $ℚ^d$에서 역 가우시안 분포를 갖는 1-의존 랜덤 잠재력 $\beta$를 구성한다.
• 잠재력이 정적이고 1-의존적인 앤더슨 유형 모델을 형성하는 $H_\beta = -W\Delta + V$ 형태의 랜덤 슈뢰딩거 연산자 $H_\beta$를 정의한다. 여기서 $V_j = 2\beta_j - 2dW$이다.
• 0을 고유값으로 갖는 일반화된 고유함수 $\psi$를 정의한다: 재귀성일 경우 $\psi = 0$, 비재귀성일 경우 양수이면서 일반화된 고유함수이다.
• 녹색 함수 $G(i,j) = \widehat{G}(i,j) + \frac{1}{2}\gamma^{-1}\psi(i)\psi(j)$를 구성한다. 여기서 $\widehat{G} = (H_\beta)^{-1}$ 이고 $\gamma \sim \text{Gamma}(1/2,1)$ 이다.
• 교환 가능한 시간 척도에서 VRJP를 $\psi$, $G$, $\gamma$를 사용하여 점프 비율 $\frac{1}{2}W_{ij} G(i_0, j)$를 갖는 마르코프 점프 과정의 혼합으로 표현한다.
• 참고문헌 [10, 8] 및 [15, 17]의 추정치를 이용하여 기능 중심극한정리 및 $d=2$에서의 재귀성에 대한 수렴성과 유계성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 VRJP가 $ℚ^d$에서 재귀성 또는 비재귀성에 대해 0-1 법칙을 만족하는가?
• RQ2 무한 그래프에서의 VRJP는 관련된 랜덤 슈뢰딩거 연산자의 일반화된 고유함수를 포함한 마르코프 점프 과정의 혼합으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 약한 강화 조건 하에서 $d \geq 3$에서 VRJP 및 ERRW에 대해 기능 중심극한정리가 성립하는가?
• RQ4 Diaconis의 추측에 따르면, 모든 일정한 초기 가중치에 대해 $d=2$에서 ERRW는 재귀적인가?
• RQ5 VRJP의 재귀성/비재귀성과 랜덤 슈뢰딩거 연산자 $H_\beta$의 국소화/비국소화 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• VRJP가 $ℚ^d$에서 재귀성 또는 비재귀성에 대해 0-1 법칙을 만족하며, 이는 강화 강도에 따라 달라진다.
• 교환 가능한 시간 척도에서 VRJP는 점프 비율 $\frac{1}{2}W_{ij} G(i_0, j)$를 갖는 마르코프 점프 과정의 혼합으로 표현되며, 여기서 $G$는 $H_\beta$의 녹색 함수와 일반화된 고유함수 $\psi$를 포함한다.
• $d \geq 3$에서 약한 강화 조건 하에서 VRJP 및 ERRW에 대해 기능 중심극한정리가 성립하며, 스코로호드 위상에서 브라운 운동으로 수렴한다.
• 모든 일정한 초기 가중치에 대해 $d=2$에서 ERRW는 재귀적이며, 이는 Diaconis의 추측을 확인한다.
• VRJP가 비재귀적일 경우 랜덤 슈뢰딩거 연산자 $H_\beta$의 0 고유값을 갖는 일반화된 고유함수 $\psi$는 양수이며, 재귀적일 경우 0이 된다.
• 랜덤 잠재력 $\beta$는 1-의존적이며 정적이고, 모수 $\left(\frac{1}{dW}, 1\right)$를 갖는 역 가우시안 분포의 역수로 주어진다.