[논문 리뷰] A randomly determined unpredictable function

Marat Akhmet, Mehmet Onur Fen외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 23.

Neural Networks and Applications참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 베르누이 확률과정을 사용하여 예측할 수 없는 연속 함수의 새로운 구성법을 제안하며, 이러한 함수가 포incare 혼돈을 나타냄을 보여준다. 독립적인 베르누이 시행을 통해 예측할 수 없는 수열을 생성하고, 이를 안정적인 선형 시스템을 통해 적분함으로써, 예측할 수 없고, 연속적이며, 유니폼 연속적이며, 유계인 함수를 도출한다. 이는 엄밀한 예측 불가능성 정의를 만족하며, 명시적인 시뮬레이션과 안정성 분석이 제공된다.

ABSTRACT

In this paper, we construct a new unpredictable function. Our approach is based on adapting the concept of symbolic dynamics to introduce a map on the space of infinite sequences generated by the discrete distribution. We show that there exists an unpredictable sequence on the space and then use the sequence to construct an unpredictable function.

연구 동기 및 목표

• 다이나믹 시스템에서 Poincaré 혼돈을 모델링하는 데 필수적인 예측 불가능 함수를 생성하기 위한 새로운 구성 방법을 제공하는 것.
• 예를 들어 로지스틱 맵과 같은 결정론적 사상에만 의존하는 것의 한계를 극복하는 것.
• 랜덤 과정, 특히 베르누이 과정이 수학적으로 엄밀한 예측 불가능한 수열과 함수를 생성할 수 있음을 보여주는 것.
• Poincaré 혼돈의 의미에서 예측할 수 없고, 연속적이며, 유계이자 유니폼 연속적인 함수의 존재를 확립하는 것.
• 표준 계산 도구를 사용하여 예측 불가능 함수의 수치적 시뮬레이션 가능한 예를 제공하는 것.

제안 방법

• {i.i.d. 베르누이 시행을 {0,1}에서 수행하여 기호 역학의 성질을 지닌 수열을 생성하는 것으로 구성이 시작된다.
• 증가하는 길이의 이진 수열을 재귀적으로 연결함으로써 기호 역학 공간 Σ₂에서 예측할 수 없는 점을 정의한다.
• π(t) = iₖ* for t ∈ [k, k+1)를 만족하는 조각별 상수 함수 π(t)를 정의한다. 여기서 iₖ*는 예측할 수 없는 수열이다.
• 지수 커널과의 컨볼루션을 통해 연속 함수 χ(t)를 정의한다: χ(t) = ∫₋∞ᵗ e⁻⁽ᵗ⁻ˢ⁾ π(s) ds로, 이는 유계성과 연속성을 보장한다.
• χ(t)가 예측 불가능함을 입증하기 위해, 위상적 및 균등 노름 조건을 만족하는 발산하는 수열 {ζₙ}, {ηₙ}의 존재를 검증한다.
• 수치적 시뮬레이션은 μ = 0.1과 무작위로 생성된 iₖ ∈ {0,1}을 사용하며, t ≥ 50일 때 ODE x' = -x + h(t)의 해가 χ(t)를 매우 정밀하게 근사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 베르누이 확률과정을 사용하여 수학적으로 엄밀한 예측 불가능한 수열을 구성할 수 있는가?
• RQ2 예측할 수 없는 수열을 안정적인 선형 시스템을 통해 통합하면 예측할 수 없는 연속 함수가 도출되는가?
• RQ3 표준 소프트웨어를 사용하여 이러한 함수를 고정밀도로 수치적으로 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ4 결과로 도출된 함수는 유니폼 연속적이며, 유계이면서 공식적인 예측 불가능성 정의를 만족하는가?
• RQ5 Poincaré 혼돈의 맥락에서 입력 수열의 예측 불가능성과 출력 함수 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• χ(t) = ∫₋∞ᵗ e⁻⁽ᵗ⁻ˢ⁾ π(s) ds로 정의된 함수 χ(t)는 유니폼 연속적이며, 유계이며, sup|χ(t)| ≤ max{|a|, |b|}를 만족한다.
• 함수 χ(t)는 예측 불가능함이 증명되며, ||χ(t+ζₙ) - χ(t)|| → 0 이라는 조건을 만족하는 발산 수열 {ζₙ}, {ηₙ}이 존재함을 입증한다. 이는 컴acts 집합에서 균등하게 성립하며, ηₙ 주변의 간격에서 ||χ(t+ζₙ) - χ(t)|| ≥ ε₀/24를 만족한다.
• 예측 불가능성 상수 ε₀는 베르누이 과정의 두 기호 간의 차이인 |a - b|로 취할 수 있다.
• t ∈ [50, 100] 범위에서, φ(0) = 0.5인 ODE x' = -x + h(t)의 해 φ(t)는 χ(t)를 오차 < 10⁻¹⁷ 이내로 근사하며, 이는 Matlab 정밀도 이내이다.
• μ = 0.1과 랜덤하게 생성된 iₖ ∈ {0,1}을 사용하여 χ(t)의 시뮬레이션이 성공적으로 수행되었다.
• 이 구성은 베르누이 과정이 기호 역학 궤도와 위상적으로 동치인 수열을 생성함을 확인하며, 예측 불가능 함수의 생성을 가능하게 한다.