[논문 리뷰] A rational map between two threefolds

Kenichiro Kimura|ArXiv.org|2004. 10. 11.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 타테의 추측이 예측한 기하적 대응을 실현하는, 타원곡선 세 개의 곱 $E^3$ 에서 $\mathbb{P}^5$ 에 있는 삼차 곡면 $V_{33}$ 로의 차수 3의 명시적 주어진 유리 사상(rationa map)을 구축한다. 이 사상은 좌표환 사이의 맵핑을 통해 유도되며, $H^3(\widetilde{V}_{33})$ 의 $L$-급수와 $\Gamma_0(9)$ 에서의 무게 4의 모듈라 형식 및 $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 상의 헤크레 특성의 연결을 예측한 타테의 추측을 실현한다. 주요 기여는 비유리 기하학과 체의 확장에 의한 이러한 대응의 명시적 실현이다.

ABSTRACT

A rational map between certain specific threefolds is given in an explicit manner.

연구 동기 및 목표

• 타테의 추측이 예측한 linke, 삼차 곡면 $V_{33}$ 과 세 개의 타원곡선의 곱 $E^3$ 사이의 명시적 유리 대응을 구축하는 것.
• $\Gamma_0(9)$ 에서의 무게 4의 모듈라 형식과 관련된 $H^3(\widetilde{V}_{33})$ 의 $L$-급수와 $E^3$ 의 코homology의 일부가 일치함을 확인하는 것.
• $E^3$ 에서의 3차 유리 사상에 의해 유도되는 $H^3$ 의 갈루아 표현에 대한 기하적 실현을 제공하는 것.
• 특히 $\Gamma(3)$ 와 $\Gamma_0(9)$-모듈라 형식과 관련된 삼차 곡면들 간의 기존의 대응 네트워크를 확장하는 것.

제안 방법

• 구성은 아핀 조각을 사용한다: $X_3 \neq 0$ 인 $V_{33}$ 의 아핀 조각으로, 다섯 개의 변수에서 두 개의 삼차 방정식으로 정의된다.
• $(E \setminus \{X_2 = 0\})^3$ 의 아핀 열린 부분집합은 여섯 개의 변수에서 세 개의 삼차 방정식으로 기술되며, 이는 곡선 $E: x^3 + y^3 + 1 = 0$ 의 세 개의 복제본의 곱에 대응한다.
• 좌표환에서 $\mathbb{Q}[X_0, X_1, X_2, X_4, X_5]$ 에서 $(E \setminus \{X_2 = 0\})^3$ 의 좌표환으로의 맵핑을 정의한다. 이 맵핑은 $X_0 \mapsto -x_1 y_3$, $X_1 \mapsto -y_1 y_3$, $X_2 \mapsto x_3$, $X_4 \mapsto -x_2 y_3$, $X_5 \mapsto -y_2 y_3$ 를 만족한다.
• 이 맵핑은 $E^3$ 에서 $V_{33}$ 로의 주어진 유리 사상으로 이어지며, 함수체 $\mathbb{Q}(E^3)$ 는 $\mathbb{Q}(V_{33})$ 위에서 $y_3$ 에 의해 생성되며, 이때 $y_3^3 + X_2^3 + 1 = 0$ 이다. 이는 사상의 차수 3을 확인한다.
• 좌표환의 대칭성과 관계를 이용하여, 이미지가 조밀하고 함수체 확장의 차수가 3임을 확인함으로써 사상이 주어진다는 것을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 $V_{33}$ 과 $E^3$ 사이에 $H^3$ 코homology 군의 $L$-급수가 일치하는 기하적 대응이 존재하는가?
• RQ2 왜 $E^3$ 에서 $V_{33}$ 로의 유리 사상은 명시적으로 구성될 수 있으며, 그 차수는 무엇인가?
• RQ3 사상에 의해 유도되는 함수체 확장 $\mathbb{Q}(E^3)/\mathbb{Q}(V_{33})$ 는 3차 확장인가, 즉 3차 유리 사상에 필요한 조건을 만족하는가?
• RQ4 이 대응은 특히 $\Gamma_0(9)$ 에서의 무게 4의 모듈라 형식과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 이 구성은 다른 삼차 곡면들로 일반화되거나, $H^3$ 에서의 모듈라 갈루아 표현을 가진 삼차 곡면들과 연결될 수 있는가?

주요 결과

• 타원곡선 $X^3 + Y^3 + Z^3 = 0$ 에 대해, $E^3$ 에서 $V_{33}$ 로의 주어진 유리 사상이 차수 3로 명시적으로 구축되었다.
• 이 사상은 아핀 조각에서 $X_0 \mapsto -x_1 y_3$, $X_1 \mapsto -y_1 y_3$, $X_2 \mapsto x_3$, $X_4 \mapsto -x_2 y_3$, $X_5 \mapsto -y_2 y_3$ 를 보내는 맵핑을 통해 유도된다.
• 함수체 $\mathbb{Q}(E^3)$ 는 $\mathbb{Q}(V_{33})$ 위에서 $y_3$ 에 의해 생성되며, $y_3^3 + X_2^3 + 1 = 0$ 이다. 이는 사상의 차수가 3임을 확인한다.
• 이 사상의 존재는 타테의 추측이 예측한 대로, $L(H^3(\widetilde{V}_{33}), s) = L(f, s)$ 의 $L$-급수 실현을 가능하게 하며, 이때 $f$ 는 $\Gamma_0(9)$ 에서의 무게 4의 새로운 형식이다.
• $H^3(\widetilde{V}_{33})$ 의 $L$-급수는 [4] 의 Remark 4.5 에서 언급된 바와 같이 $E^3$ 의 코homology 일부와 일치하며, 이 사상은 그 일치를 기하학적으로 실현한다.
• 이 구성은 $V_{33}$ 과 $E^3$ 가 모듈라 $L$-함수와 $H^3$ 의 갈루아 표현이 일치하는 유리 대응을 통해 연결되어 있음을 확인한다.