[논문 리뷰] A realization of certain modules for the $N=4$ superconformal algebra and the affine Lie algebra $A_2 ^{(1)}$

Dražen Adamović|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 06.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 31인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 중심적 차수 $c = -9$를 가진 단순 $N=4$ 초등방형 버텍스 대수 $L_c^{N=4}$를 $bc\beta\gamma$ 시스템 내에 명시적인 실현으로 제공하며, 애드미시블 아핀 버텍스 대수 $L_{A_1}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$를 통합하고, $L_c^{N=4}$-모듈에서 $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$-모듈로 가는 함자를 수립한다. 주요 기여는 두 대수에 대해 가중치 및 로그 모듈의 무한한 가족을 구성하고, $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$의 부분대수가 중심 차수 $c = -10$인 $W(2,3)$-대수의 로그 확장임을 보여주는 코셋 실현을 제공하는 것이다.

ABSTRACT

We shall first present an explicit realization of the simple $N=4$ superconformal vertex algebra $L_{c} ^{N=4}$ with central charge $c=-9$. This vertex superalgebra is realized inside of the $ b c βγ$ system and contains a subalgebra isomorphic to the simple affine vertex algebra $L_{A_1} (- frac{3}{2} Λ_0)$. Then we construct a functor from the category of $L_{c} ^{N=4}$--modules with $c=-9$ to the category of modules for the admissible affine vertex algebra $L_{A_{2} } (- frac{3}{2} Λ_0)$. By using this construction we construct a family of weight and logarithmic modules for $L_{c} ^{N=4}$ and $L_{A_{2} } (- frac{3}{2} Λ_0)$. We also show that a coset subalgebra of $L_{A_{2} } (- frac{3}{2} Λ_0)$ is an logarithmic extension of the $W(2,3)$--algebra with $c=-10$. We discuss some generalizations of our construction based on the extension of affine vertex algebra $L_{A_1} (k Λ_0)$ such that $k+2 = 1/p$ and $p$ is a positive integer.

연구 동기 및 목표

• 중앙 차수 $c = -9$에서 단순 $N=4$ 초등방형 버텍스 대수 $L_c^{N=4}$의 명시적 자유장 실현을 개발한다.
• 애드미시블 아핀 버텍스 대수 $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$-모듈로의 $L_c^{N=4}$-모듈에서의 함자를 수립한다.
• $L_c^{N=4}$ 및 $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$에 대해 무한한 가역적 가중치 및 로그 모듈의 가족을 구성한다.
• $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$의 코셋 부분대수를 중심 차수 $c = -10$인 $W(2,3)$-대수의 로그 확장으로 식별한다.
• $p \geq 3$에 대해 가족 ${\mathcal{V}}^{(p)}$ 및 $\mathcal{R}^{(p)}$로의 일반화를 수행하여 $N=4$ 및 $A_2^{(1)}$ 사례를 확장한다.

제안 방법

• $c = -9$를 가진 $N=4$ 초등방형 버텍스 대수 $L_c^{N=4}$는 $bc\beta\gamma$ 시스템에 해당하는 웨일 버텍스 대수 $M$과 클리퍼드 버텍스 슈퍼대수 $F$의 텐서곱 내에서 최대의 $sl_2$-통합 부분모듈로 실현된다.
• $L_{A_1}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$의 와키모토 모듈은 $M \otimes F$ 내에 실현되며, $L_c^{N=4}$는 이 텐서곱의 최대 $sl_2$-통합 부분모듈과 동형이다.
• $L_c^{N=4}$-모듈에서 $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$-모듈로의 전이를 가능하게 하는 함자 $\mathcal{L}_s$를 구성한다.
• $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$는 $L_c^{N=4} \otimes F_{-1}$의 부분대수로 실현되며, 여기서 $F_{-1}$은 일반화된 격자 버텍스 대수이다.
• $p \geq 3$에 대해 일반화된 버텍스 대수 ${\mathcal{V}}^{(p)}$ 및 $\mathcal{R}^{(p)}$를 도입하며, 이는 $k+2 = 1/p$ 조건을 만족하는 $L_{A_1}(k\Lambda_0)$의 확장을 통해 정의되며, $\mathcal{V}^{(p)} \otimes F_{-p/2}$ 내에 실현된다.
• 등각 임bedding 및 $\mathcal{W}$-대수 구성 기법을 사용하여, $\mathcal{R}^{(3)} \cong \mathcal{W}_{k}(sl_4, f_\theta)$이 $k = -8/3$일 때 성립한다는 추측을 뒷받침한다. 이는 고차원 $\mathcal{W}$-대수의 로그 확장과 연결된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중앙 차수 $c = -9$를 가진 단순 $N=4$ 초등방형 버텍스 대수를 어떻게 $bc\beta\gamma$ 시스템 내에 명시적으로 실현할 수 있는가?
• RQ2 $L_c^{N=4}$의 모듈 범주, 특히 범주 $\mathcal{O}$와 가중치 모듈 내의 가역 모듈에 대한 그 구조는 어떠한가?
• RQ3 $L_c^{N=4}$-모듈에서 $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$-모듈로의 함자를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$의 코셋 부분대수의 성격은 무엇이며, 이는 어떻게 $W(2,3)$-대수의 로그 확장과 관련이 있는가?
• RQ5 $L_c^{N=4}$ 및 $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$의 구성 방식을 $p \geq 3$에 대해 일반화하여 가족 ${\mathcal{V}}^{(p)}$ 및 $\mathcal{R}^{(p)}$로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• $c = -9$를 가진 $N=4$ 초등방형 버텍스 대수 $L_c^{N=4}$는 웨일 버텍스 대수 $M$과 클리퍼드 버텍스 슈퍼대수 $F$의 텐서곱 내에서 최대의 $sl_2$-통합 부분모듈로 실현되며, 이는 $bc\beta\gamma$ 시스템에 해당한다.
• $L_c^{N=4}$의 범주 $\mathcal{O}$에는 유일하게 두 개의 가역 모듈만 존재하지만, 무한히 많은 가역적 가중치 모듈이 존재하며, 유한차원 가중치 공간을 갖는 $\frac{1}{2}\mathbb{Z}_{\geq 0}$-등급 모듈의 범주는 단순하다.
• $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$는 $L_c^{N=4} \otimes F_{-1}$의 부분대수로 실현되며, 함자 $\mathcal{L}_s$는 $L_c^{N=4}$-모듈에서 $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$-모듈로의 전이를 가능하게 한다.
• $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$의 코셋 부분대수는 중심 차수 $c = -10$인 $W(2,3)$-대수의 로그 확장으로 식별되며, 이는 로그 확장 초등방형 이론과의 연결을 시사한다.
• $p \geq 3$에 대해 일반화된 버텍스 대수 ${\mathcal{V}}^{(p)}$ 및 $\mathcal{R}^{(p)}$를 구성하였으며, $\mathcal{R}^{(2)} \cong L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$이며, $\mathcal{R}^{(3)} \cong \mathcal{W}_{k}(sl_4, f_\theta)$이 $k = -8/3$일 때 성립한다는 추측을 제기하였다. 이는 고차원 $\mathcal{W}$-대수와 연결된다.