[논문 리뷰] A rearrangement distance for fully-labelled trees

Giulia Bernardini, Paola Bonizzoni외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 02.

Data Management and Algorithms참고 문헌 33인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 모든 정점에 고유한 레이블이 부여된 완전 레이블링 트리에 대해, 연결-자르기 연산(트리의 구조를 변경하는 데 사용)과 레이블 순열 연산을 조합한 새로운 재배열 거리 측정법을 제안한다. 이 문제는 일반적으로 NP-난이도이지만, 고정 매개변수 유형으로는 다룰 수 있으며, 한 트리가 이진 트리인 경우 4-근사 알고리즘을 제공함으로써 암 진화 연구에서 종양 계통발생수를 효율적으로 비교할 수 있다.

ABSTRACT

The problem of comparing trees representing the evolutionary histories of cancerous tumors has turned out to be crucial, since there is a variety of different methods which typically infer multiple possible trees. A departure from the widely studied setting of classical phylogenetics, where trees are leaf-labelled, tumoral trees are fully labelled, i.e., \emph{every} vertex has a label. In this paper we provide a rearrangement distance measure between two fully-labelled trees. This notion originates from two operations: one which modifies the topology of the tree, the other which permutes the labels of the vertices, hence leaving the topology unaffected. While we show that the distance between two trees in terms of each such operation alone can be decided in polynomial time, the more general notion of distance when both operations are allowed is NP-hard to decide. Despite this result, we show that it is fixed-parameter tractable, and we give a 4-approximation algorithm when one of the trees is binary.

연구 동기 및 목표

• 암 시퀀싱 데이터로부터 추정된 다수의 완전 레이블링 진화 트리를 비교하는 문제에 도전하며, 여기서 모든 노드(잎 뿐 아니라)가 돌연변이로 레이블링된다.
• 트리의 구조 변화(링크-커트)와 레이블 순열을 모두 고려하는 새로운 재배열 거리 측정법을 정의한다.
• 새로운 거리 측정법의 계산 복잡도를 규명하여, 일반적으로 NP-난이도임을 보이고, 고정 매개변수 유형으로는 다룰 수 있음을 증명한다.
• 입력 트리 중 하나가 이진 트리인 경우 다항 시간 내에 4-근사 알고리즘을 제공함으로써 종양 진행 분석에 실용적으로 적용할 수 있도록 한다.

제안 방법

• 두 가지 원자적 연산을 정의한다: (1) 트리의 구조를 변경하기 위한 링크-커트, (2) 구조를 유지한 채 정점 레이블의 순서를 바꾸는 순열.
• 각 연산을 별도로 사용할 경우 거리 계산이 다항 시간 내에 가능하지만, 두 연산을 동시에 고려할 경우 거리 계산은 NP-난이도임을 증명한다.
• 레마 2.1을 활용해 연산 순서를 재정렬: 최적의 변환 시퀀스에서 모든 순열 연산이 모든 링크-커트 연산 이전에 이루어진다.
• 매개변수 $k$를 활용한 유한한 탐색 트리 기법을 적용하여, 크기가 $k$ 이하인 모든 가능한 레이블 순열 시퀀스를 탐색하며, 이는 최대 $O((4k)^{2k^2})$개의 시퀀스로 제한된다.
• 각 결과로 얻어진 중간 트리 $T^*$에 대해, 레마 3.1을 이용해 $T_2$까지의 링크-커트 거리를 $O(n)$ 시간 내에 계산한다.
• 모든 $T^*$에 대해 $d_\pi(T_1, T^*)$와 $d_\ell(T^*, T_2)$를 조합하여 총 거리를 계산하고, 이 중 최솟값을 추적한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 정점에 고유한 레이블이 부여된 완전 레이블링 트리에 대해, 전통적인 계통발생학에서 잎 뿐 아니라 모든 정점에 레이블이 부여된 경우에 의미 있는 재배열 거리 측정법을 정의할 수 있는가?
• RQ2 한 완전 레이블링 트리를 다른 트리로 변환하기 위해 필요한 최소 수의 구조 변경 및 레이블 순열 연산을 계산하는 문제는 계산적으로 다룰 수 있는가?
• RQ3 특히 정점의 차수 제약이 있거나 한 트리가 이진 트리인 경우, 완전 레이블링 트리의 재배열 거리의 계산 복잡도는 어떻게 되는가?
• RQ4 입력 트리 중 하나가 이진 트리인 경우, 상수 요소 근사 알고리즘을 설계할 수 있는가?

주요 결과

• 링크-커트 및 레이블 순열 연산을 모두 允허하는 경우, 두 완전 레이블링 트리 간의 재배열 거리 계산은 NP-난이도이다.
• 거리 매개변수 $k$에 대해 고정 매개변수 유형으로 다룰 수 있으며, $O((4k)^{2k^2}n)$ 시간 내에 해결 가능하다.
• 입력 트리 중 하나가 이진 트리인 경우, 4-근사 알고리즘이 존재한다. 이는 링크-커트 거리 근사와 부등식 $d(T_1,T_2) \geq \frac{d_\ell(T_1,T_2)}{4}$ 기반이다.
• 트리 간 정점 쌍의 가족 분할 $\mathcal{P}$ 는 하한을 제공한다: $d(T_1,T_2) \geq |\mathcal{P}|/2$ 이며, 이는 고정 매개변수 알고리즘에서 탐색 공간을 단순화하는 데 사용된다.
• 모든 중간 트리 $T^*$에 대해 링크-커트 거리 $d_\ell(T^*, T_2)$ 는 선형 시간 $O(n)$ 내에 계산 가능하므로, 탐색 과정에서 효율적인 평가가 가능하다.
• 최적의 변환 시퀀스는 재정렬되어 모든 레이블 순열이 모든 구조 변경 이전에 이루어지게 되며, 이는 알고리즘 설계를 단순화한다.