[논문 리뷰] A Recipe for Constructing Exactly Soluble Lattice Models with Gauge and Matter Fields in One and Two Dimensions

Miguel Jorge Bernabé Ferreira, J. P. Ibieta Jimenez외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 26.

Quantum many-body systems참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 1차원 및 2차원 공간에서 게이지 장과 물질 장을 동시에 포함하는 정확히 해석 가능한 격자 모델을 위한 상태합 구성법을 제시한다. 삼등분 다각형에 국소 텐서를 할당하고, 정점에 A-모듈을 통해 물질 장을 포함시킴으로써, 특히 프로젝터가 교환 가능할 경우 정확히 해석 가능한 해밀토니안을 유도하는 전이 행렬을 도출한다. 이는 보스온 물질 장을 이용한 짧은 범위 및 긴 범위로 연결된 상을 모델링할 수 있게 한다.

ABSTRACT

State sum models can be used to obtain partition functions of physical systems in various dimensions. Several prescriptions have been given to construct such state sum models all of which proceed by associating local tensors, which can be thought of as weights, to different parts of a closed triangulated manifold. An example of this approach is the Kuperberg’s algorithm for finding 3-manifold invariants. From the physics point of view an analogous construction results in the partition functions of three dimensional lattice gauge theories based on involutory Hopf algebras A. For the familiar case of group algebras, A = C(G), we obtain the partition functions of lattice gauge theories. In this paper we extend this construction for lattice gauge theories to one with gauge and matter fields. We build the partition functions of these theories in both two and three space-time dimensions. The additional ingredients in this construction, when compared to the pure gauge case, are the matter fields located on the vertices of the triangulated manifold which are acted upon by the gauge fields living on the edges of the same manifold. The matter fields correspond to Potts spin configurations located at the vertices interacting with the gauge field. They can be described by an A-module with an inner product. Performing this construction on a triangulated manifold with a boundary we obtain the transfer matrices of the lattice theories with gauge and matter fields. These transfer matrices are written as a product of local operators acting on vertices, links and plaquettes, very much similar to the ones occurring in lattice gauge theories where they can be identified with those appearing in Kitaev’s Quantum Double Models (QDM). The transfer matrices constructed are functions of a number of parameters which come along with the initial weights associated to different parts of the triangulated manifold. In general the transfer matrices are products of local operators, each of which are sums of projectors, but do not [e-mail] [e-mail] [e-mail] [e-mail] 1 commute with each other. However for certain values of the parameters we obtain transfer matrices made up of commuting projectors. Thus the Hamiltonians obtained from these transfer matrices are exactly soluble and their ground states can mimic both long-ranged and short-ranged entangled phases. We illustrate this construction in both two and three dimensions to obtain exactly soluble quantum lattice models of gauge and matter fields in one and two dimensions. We only consider bosonic matter fields in this paper.

연구 동기 및 목표

• 1D 및 2D에서 게이지 장과 물질 장을 모두 포함하는 상태합 모델을 확장하기.
• 삼등분 다각형을 사용하여 물질 장이 포함된 격자 게이지 이론의 분할 함수 및 전이 행렬을 구성하기.
• 결과 전이 행렬이 교환 가능한 프로젝터로 구성되는 모델 매개변수의 범위를 규명하기.
• 결과 해밀토니안이 짧은 범위 및 긴 범위로 연결된 상의 기저 상태를 모두 구현할 수 있음을 보여주기.

제안 방법

• 삼등분 다각형에 정점, 변, 플라켓에 가중치를 할당하는 구성법을 사용하며, 이는 3차원 다각형 불변량에 대한 쿠퍼버그의 알고리즘을 일반화한 것이다.
• 물질 장은 정점에 위치한 A-모듈과 내적을 갖는다. 이는 변에 있는 게이지 장에 의해 변환된다.
• 분할 함수는 삼등분 다각형을 따라 텐서 수축을 통해 구성되며, 게이지 및 물질 자유도를 모두 포함한다.
• 경계가 있는 다각형에서 분할 함수로부터 전이 행렬을 유도하며, 이는 정점, 링크, 플라켓에서 작용하는 국소 연산자의 곱으로 표현된다.
• 전이 행렬은 초기 상태합의 가중치로 매개변수화되며, 특정한 매개변수 선택에 의해 교환 가능한 프로젝터로 구성된다.
• 결과 해밀토니안은 이러한 전이 행렬로부터 유도되며, 프로젝터가 교환 가능할 경우 정확히 해석 가능한 해밀토니안이 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 상태합 모델을 1차원 및 2차원에서 게이지 장과 물질 장을 모두 포함하도록 확장할 수 있는가?
• RQ2 모델 매개변수의 어떤 조건이 전이 행렬에서 교환 가능한 프로젝터를 유도하는가?
• RQ3 결과 해밀토니안은 짧은 범위 및 긴 범위로 연결된 상을 모두 기술할 수 있는가?
• RQ4 이 격자 구성에서 물질 장은 게이지 작용에 의해 어떻게 변환되는가?
• RQ5 내적을 갖는 A-모듈은 물질 자유도를 어떻게 표현하는가?

주요 결과

• 이 구성은 정점, 링크, 플라켓에서 작용하는 국소 연산자의 곱으로 이루어진 전이 행렬을 도출하며, 키타エ프의 양자 듀얼 모델과 유사하다.
• 특정한 매개변수 값에서 전이 행렬은 교환 가능한 프로젝터로 구성되며, 이는 정확히 해석 가능한 해밀토니안을 이끈다.
• 이 해밀토니안의 기저 상태는 짧은 범위 및 긴 범위로 연결된 상을 모두 모방할 수 있다.
• 물질 장은 내적을 갖는 A-모듈로 기술되며, 이는 게이지 불변성과의 일관성을 보장한다.
• 순수한 게이지 상태합 모델을 물질 장을 포함하도록 일반화하면서도 1D 및 2D에서 정확히 해석 가능한 성질을 유지한다.
• 이 프레임워크는 보스온 물질 장에 국한되며, 페르미온 확장은 고려하지 않는다.