[논문 리뷰] A rectifiability result for finite-perimeter sets in Carnot groups

Sebastiano Don, Enrico Le Donne외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 01.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 26인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 카르노 군 내에서 유한한 둘레를 가진 집합에 대한 새로운 직선성 개념을 도입함으로써, 내재적 리프시츠 그래프를 일반화하는 콘 성질을 제안한다. 이는 임의의 유한한 둘레를 가진 집합의 축소 경계가 이 콘 성질을 만족하는 가чёт한 수의 집합들로 덮일 수 있음을 증명하며, 콘에 수평 방향이 포함되어 있을 경우 내재적 리프시츠 그래프를 통한 직선성이 유도됨을 보인다. 이 결과는 제1종 및 제2종 필리폼 군을 포함한 모든 필리폼 군에서 성립한다.

ABSTRACT

In the setting of Carnot groups, we are concerned with the rectifiability problem for subsets that have finite sub-Riemannian perimeter. We introduce a new notion of rectifiability that is, possibly, weaker than the one introduced by Franchi, Serapioni, and Serra Cassano. Namely, we consider subsets $Γ$ that, similarly to intrinsic Lipschitz graphs, have a cone property: there exists an open dilation-invariant subset $C$ whose translations by elements in $Γ$ don't intersect $Γ$. However, a priori the cone $C$ may not have any horizontal directions in its interior. In every Carnot group, we prove that the reduced boundary of every finite-perimeter subset can be covered by countably many subsets that have such a cone property. The cones are related to the semigroups generated by the horizontal half-spaces determined by the normal directions. We further study the case when one can find horizontal directions in the interior of the cones, in which case we infer that finite-perimeter subsets are countably rectifiable with respect to intrinsic Lipschitz graphs. A sufficient condition for this to hold is the existence of a horizontal one-parameter subgroup that is not an abnormal curve. As an application, we verify that this property holds in every filiform group, of either first or second kind.

연구 동기 및 목표

• 기하학적 유클리드 직선성의 실패로 인해 일반적인 카르노 군 내에서 유한 둘레 집합의 직선성 문제를 다루기 위해.
• 내재적 리프시츠 그래프를 일반화하는 콘 성질에 기반한, 잠재적으로 더 약한 직선성의 새로운 개념을 도입하기 위해.
• 카르노 군 내에서 유한 둘레 집합이 내재적 리프시츠 그래프를 통해 언제 직선성이 성립하는지 조건을 규명하기 위해.
• 특히 제1종 및 제2종 필리폼 군을 포함한 특정 카르노 군의 클래스에서 직선성 조건을 검증하기 위해.
• 수평 방향과 비정상 곡선이 직선성 가능성을 가능하게 하는 데서 수행하는 역할을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 카르노 군 내 부분집합에 대한 새로운 콘 성질을 도입한다: 집합 Γ가 콘 성질을 가진다는 것은, 열린, 확대 불변 콘 C가 존재하여, Γ의 원소들에 의한 좌측 이동이 Γ와 교차하지 않는 것을 의미한다.
• 축소 경계의 법선 방향에 대응하는 수평 반공간이 생성하는 준군과 콘 C를 연결한다.
• 블로우업 분석을 사용하여, 유한 둘레 집합의 축소 경계 상의 모든 점이 일정한 수평 법선을 가진 탄성 집합을 가짐을 보인다.
• 모든 카르노 군에서 축소 경계가 새로운 콘 성질을 만족하는 가чёт한 수의 집합들로 덮일 수 있음을 증명한다.
• 콘 C의 내부에 수평 방향이 포함되어 있을 경우, 그 집합은 내재적 리프시츠 그래프를 통해 직선성이 있음을 확립한다.
• 리 대수의 자기동형사상 이론을 사용하여 필리폼 군을 분석하고, 비정상적인 수평 일차원 부분군의 존재를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 카르노 군 내에서 유한 둘레 집합의 축소 경계는 일반화된 콘 성질을 만족하는 가чёт한 수의 집합들로 덮일 수 있는가?
• RQ2 콘에 수평 방향이 포함되어 있을 경우, 내재적 리프시츠 그래프를 통한 직선성이 어떻게 유도되는가?
• RQ3 제1종 및 제2종 필리폼 군은 내재적 리프시츠 그래프를 통한 직선성 조건을 만족하는가?
• RQ4 비정상적인 수평 일차원 부분군의 존재는 카르노 군 내에서 직선성의 충분조건인가?
• RQ5 필리폼 리 대수의 자기동형사상군은 비정상적인 수평 직선의 존재와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 모든 카르노 군에서, 임의의 유한 둘레 집합의 축소 경계는 새로운 콘 성질을 만족하는 가чёт한 수의 집합들로 덮일 수 있다.
• 축소 경계와 관련된 콘에 수평 방향이 내부에 포함되어 있을 경우, 그 집합은 내재적 리프시츠 그래프를 통해 직선성이 있다.
• 비정상적인 수평 일차원 부분군의 존재는 내재적 리프시츠 그래프를 통한 직선성의 충분조건이다.
• 모든 제1종 및 제2종 필리폼 군은 비정상성 조건을 만족하므로, 이러한 군 내의 유한 둘레 집합은 내재적 리프시츠 그래프를 통해 직선성이 있다.
• 제1종 필리폼 군은 3차원의 계층적 자기동형사상 공간을 가지며, 제2종 필리폼 군은 2차원의 공간을 가지므로, 이는 이들이 서로 동형이 아니라는 것을 구분한다.
• 모든 필리폼 군은 팬수-강성(파노스-강성)이 아니며, 확대 외에도 더 많은 계층적 자기동형사상이 존재한다.