[논문 리뷰] A relative higher index theorem, diffeomorphisms and positive scalar curvature

Zhizhang Xie, Guoliang Yu|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 16.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 무한대에서 양의 스칼라 곡률을 갖는 완전한 스플린 다양체에 대해 상대적 고차 지수 정리를 수립하며, 닫힌 다양체와 그 갈루아 피복에서 두 양의 스칼라 곡률 메트릭이 이러한 메트릭들의 공간에서 연결될 수 없도록 하는 2차 고차 지수 클래스를 도입한다. 한 메트릭이 다양체의 미분동형사상에 의해 유도될 경우, 이 지수 클래스에 대한 계산 가능한 공식을 제공하며, 이 지수 클래스가 바움-콘스 비약도의 상사 맵의 이미지 안에 있음을 증명한다.

ABSTRACT

We prove a general relative higher index theorem for complete manifolds with positive scalar curvature towards infinity. We apply this theorem to study Riemannian metrics of positive scalar curvature on manifolds. For every two metrics of positive scalar curvature on a closed manifold and a Galois cover of the manifold, we define a secondary higher index class. Non-vanishing of this higher index class is an obstruction for the two metrics to be in the same connected component of the space of metrics of positive scalar curvature. In the special case where one metric is induced from the other by a diffeomorphism of the manifold, we obtain a formula for computing this higher index class. In particular, it follows that the higher index class lies in the image of the Baum-Connes assembly map.

연구 동기 및 목표

• 무한대에서 양의 스칼라 곡률을 갖는 완전한 다양체에 대해 상대적 고차 지수 정리를 개발한다.
• 닫힌 다양체와 그 갈루아 피복에서 두 양의 스칼라 곡률 메트릭이 이러한 메트릭들의 공간에서 같은 연결 성분에 있지 못하도록 하는 2차 고차 지수 클래스를 정의한다.
• 한 메트릭이 다양체의 미분동형사상에 의해 유도될 경우, 이 지수 클래스에 대한 계산 가능한 공식을 유도한다.
• 유도된 고차 지수 클래스가 바움-콘스 비약도의 상사 맵의 이미지 안에 있음을 보이며, 비커니컬 기하학의 깊은 추측과 연결한다.

제안 방법

• 완전한 스플린 다양체의 갈루아 피복에서 디라크 연산자를 사용하여 상대적 고차 지수 정리를 구성한다. 이 다양체는 컴acts 집합 외부에서 양의 스칼라 곡률을 갖는다.
• 두 다양체를 초면을 따라 붙임으로써 상대 지수 클래스를 정의하며, 이로써 얻어진 신규한 다양체의 디라크 연산자의 고차 지수 클래스가 원래 지수 클래스들의 차와 일치하도록 한다.
• 이식의 이전과 스플린 어在此에서의 번들 이sov의 이전을 통해 붙임 과정에서의 호환성을 확보한다.
• 정규성과 유계성을 제어하기 위해 타원적 미분형 연산자 이론과 소볼레프 노름을 적용한다.
• 특히 미분동형사상에 의해 유도된 경우에 지수 클래스가 바움-콘스 비약도의 상사 맵의 이미지 안에 있음을 보이기 위해 바움-콘스 비약도를 활용한다.
• 복소 $C^*$-대수의 설정에서의 결과를 실수 $C^*$-대수 설정으로 일반화하나, 증명은 복소 경우에 대해 제시하고 실수 경우의 변환에 대한 참고 사항을 기재한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 닫힌 다양체와 그 갈루아 피복에서 두 양의 스칼라 곡률 메트릭이 이러한 메트릭들의 공간에서 연결될 수 없는 이유는 무엇인가?
• RQ2 무한대에서 양의 스칼라 곡률을 갖는 완전한 다양체에 대해 상대적 고차 지수 정리를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 한 메트릭이 다양체의 미분동형사상에 의해 유도될 경우, 2차 고차 지수 클래스를 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 미분동형사상에 의해 유도된 경우, 2차 고차 지수 클래스가 바움-콘스 비약도의 상사 맵의 이미지 안에 있는가?
• RQ5 초면과 갈루아 피복을 포함하는 붙임 구성에서 디라크 연산자와 그 고차 지수의 기하학적 및 분석적 성질은 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 상대적 고차 지수 정리는 붙인 다양체 $X_2$의 고차 지수 클래스가 원래 다양체들의 고차 지수 클래스의 차와 일치함을 보여준다: $\textup{Ind}(D_2) = \textup{Ind}(D_0) - \textup{Ind}(D_1)$.
• 닫힌 다양체와 그 갈루아 피복에서 두 양의 스칼라 곡률 메트릭에 관련된 2차 고차 지수 클래스는 이러한 메트릭들이 같은 연결 성분에 있지 못하도록 하는 위상적 장벽이다.
• 한 메트릭이 다른 메트릭으로부터 미분동형사상에 의해 유도될 경우, 2차 지수 클래스는 계산 가능하며 바움-콘스 비약도의 상사 맵의 이미지 안에 있다.
• 정리는 실수 및 복소 $C^*$-대수 모두에 적용 가능하며, 복소 경우에 대해 자세히 다루고 실수 경우의 수정 사항을 제시한다.
• 증명은 타원적 미분형 연산자 이론, 소볼레프 노름, $\mathcal{A}$-번들의 제약 맵에 기반하며, 주요 추정은 파라메트릭스 구성에 의해 확립된다.
• 소볼레프 공간 위의 제약 맵은 부등식 $\langle\langle R\sigma,R\sigma\rangle\rangle_{s-k/2} \leq C\langle\langle\sigma,\sigma\rangle\rangle_s$ 를 만족하며, 이는 지수 계산에서 정규성 제어에 필수적이다.