[논문 리뷰] A Remark On C^{2,\alpha}-Regularity of the Complex Monge-Ampère Equation

Yu Wang|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 03.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $ f^{1/n} \in C^\alpha $, $ f \geq \lambda > 0 $, 및 $ \Delta u \leq \Lambda $ 라는 조건 하에 복소 멩게-암페르 방정식 $ \det(u_{\bar{k}j}) = f $ 의 해에 대해 $ C^{2,\alpha} $-정규성을 확립한다. 핵심 혁신은 실수 대칭 행렬 위에서의 실수 행렬식에 대해 볼록성과 균일 타원성을 갖는 확장 $ \tilde{F} $ 를 구성하는 것으로, 이는 복소 멩게-암페르 방정식을 균일 타원성 PDE로 환원함으로써, 더 작은 구내에서 임의의 $ \beta < \alpha $ 에 대해 $ C^{2,\beta} $ 정규성을 증명한다.

ABSTRACT

We prove the $C^{2,\alpha}$-regularity of the solution $u$ of the equation [\det(u_{\bar{k} j}) = f, \quad f^{1/n} \in C^{\alpha}, \quad f \geq \lambda] under the assumption in upper bound of $\Delta u$. Our result settles down the regularity problem related to the paper \cite{Tian} (also see \cite{Zhang}).

연구 동기 및 목표

• 이전 결과들보다 더 약한 조건 하에서 복소 멩게-암페르 방정식의 정규성 문제를 해결하기 위해.
• 실로 $ f^{1/n} \in C^\alpha $ 와 $ \Delta u \leq \Lambda $ 만을 가정할 때, $ D^2u $ 의 $ L^\infty $-유계성 조건을 요구하지 않고도 $ C^{2,\alpha} $-정규성을 확립하기 위해.
• 특정 집합에서 원래 행렬식과 일치하는, 대칭 행렬 위에서 정의된 볼록이고 균일 타원성 있는 확장 $ \tilde{F} $ 를 구성하기 위해.
• 해 $ u $ 가 균일 타원성 PDE $ \tilde{F}(D^2u) = f^{1/n} $ 를 만족함을 보여, 표준 정규성 이론을 적용할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 제어된 고유값을 가진 행렬들의 집합 $ E_\theta $ 에서 실수 행렬식 $ F(M) = \det_R^{1/2n}[p(M)] $ 의 볼록 폐쇄를 $ \tilde{F}(M) $ 로 정의한다.
• $ N \in E_\theta $ 에서의 최소 합성에 의해 $ \tilde{F} $ 를 구성함으로써, 볼록성과 균일 타원성을 보장한다.
• 표준 복소 구조 $ J $ 와 사영 사상 $ p: \text{Sym}(2n) \to \text{Herm}(n) $ 을 사용하여 실수와 복소 행렬식을 연결한다.
• $ \tilde{F} $ 가 $ \lambda, \Lambda, n $ 에만 의존하는 상수 $ \tilde{\theta} $ 를 갖는 균일 타원성임을 증명한다.
• $ B_1 $ 내의 모든 $ x $ 에 대해 $ D^2u(x) \in E_\theta $ 이므로, $ B_{1/2} $ 내에서 $ \tilde{F}(D^2u) = f^{1/n} $ 이 성립함을 보인다.
• 표준 비선형 타원성 이론을 적용하여 $ u \in C^{2,\beta}(B_{1/2}) $ 이고 $ \beta < \alpha $ 라는 결론을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실로 $ f^{1/n} \in C^\alpha $ 와 $ \Delta u \leq \Lambda $ 라는 조건만을 가정할 때, $ D^2u \in L^\infty $ 를 가정하지 않고도 복소 멩게-암페르 방정식에 대해 $ C^{2,\alpha} $-정규성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 행렬식의 볼록한 확장 방식을 통해 복소 멩게-암페르 방정식을 균일 타원성 PDE로 환원하는 것이 가능한가?
• RQ3 특정 집합에서 원래 값과 일치하는, 대칭 행렬 위에서 정의된 균일 타원성과 볼록성을 갖는 행렬식의 최적의 확장 방법은 무엇인가?
• RQ4 확장된 함수 $ \tilde{F} $ 의 균일 타원성은 $ f^{1/n} $ 과 $ \Delta u $ 의 하한 및 상한 조건에 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 주어진 조건 하에 $ \det(u_{\bar{k}j}) = f $ 의 해 $ u $ 는 임의의 $ \beta < \alpha $ 에 대해 $ B_{1/2} $ 에서 $ u \in C^{2,\beta}(B_{1/2}) $ 를 만족한다.
• $ C^{2,\beta} $-노름에서의 정규성 상수 $ C $ 는 $ \beta, n, \lambda, \Lambda, \|f^{1/n}\|_{C^\alpha}, \|u\|_{L^\infty} $ 에만 의존한다.
• 구성된 기능 $ \tilde{F} $ 는 $ \text{Sym}(2n) $ 에서 볼록하고 균일 타원성이며, 타원성 상수 $ \tilde{\theta} $ 는 $ \lambda, \Lambda, n $ 에만 의존한다.
• 확장된 함수 $ \tilde{F} $ 는 집합 $ E_\theta $ 에서 원래 행렬식 $ F $ 와 일치하므로, $ B_{1/2} $ 내에서 $ \tilde{F}(D^2u) = f^{1/n} $ 이 성립한다.
• 이전 연구에서 사용된 변형 기법을 피하고, 직접적으로 볼록 폐쇄를 구성함으로써 균일 타원성을 달성하는 방법을 사용한다.