[논문 리뷰] A remark on Fremlin-Miller theorem concerning the Menger property and Michael concentrated sets

Józef Chaber, Roman Pol|arXiv (Cornell University)|2023. 05. 18.

Advanced Topology and Set Theory인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 마이클의 곱공간에서 집중집합을 구성하는 기법을 사용하여 프레플린–밀러 정리의 멕거 성질에 대한 강화를 이룩한다. 완전하게 거리화 가능하고 분리 가능하며 내부가 비어 있는 컴팩트 부분집합이 없는 공간에서, 유한한 거듭제곱이 모두 멕거 성질을 가지지만 σ-콤팩트 집합에 포함되지 않는 부분집합 M이 존재함을 증명한다. 이 결과는 d의 값과 무관하게 ZFC에서 비-σ-콤팩트 멕거 공간의 존재를 보여주며, 이는 d의 값에 영향을 받지 않는다.

ABSTRACT

The theorem we prove is a slight strengthening of some results by Just, Miller, Scheepers and Szeptycki [JMSS]. We use the Michael technique instead of the combinatorial approach in the literature. Comments by the submitter: This short unpublished paper, written in 2002, is a cornerstone in the study of selection principles and classic covering properties. It is the first to solve the Hurewicz Problem, by showing that there is, in ZFC, a real set with Menger's covering property (indeed, in all finite powers) but without Hurewicz's covering property. Unfortunately, web searches begin to miss this paper, and I sought, and received, permission from the authors to store this paper in the ArXiv, providing it a permanent link. The author's decision to not publish this paper, in light of some later stronger results by other authors (including myself), is a true act of generosity. Hopefully, this submission does some justice to their achievement.

연구 동기 및 목표

• 맥거 성질에 관한 프레플린–밀러 정리를 더 넓은 범위의 위상공간으로 확장하는 것.
• 내부가 비어 있는 컴팩트 부분집합이 없는 완전하게 거리화 가능하고 분리 가능한 공간에서, 유한한 거듭제곱이 모두 멕거 성질을 가지지만 σ-콤팩트 집합에 포함되지 않는 비-σ-콤팩트 부분집합 M의 존재를 보여주는 것.
• 이전에 사용된 조합론적 접근을 피하기 위해 마이클의 곱공간에서 집중집합을 구성하는 방법을 적용하여 결과를 도출하는 것.
• d의 값에 관계없이 이 구성이 작동함을 보여주며, 특히 b = d일 경우에 대해 강조하는 것.

제안 방법

• 완전하게 거리화 가능하고 분리 가능한 공간 X로의 Baire 공간 ℕ^ℕ에서의 성질을 옮기기 위해, f: ℕ^ℕ → X 인 완전한 연속사상 f를 사용한다.
• F(t) = {s ∈ ℕ^ℕ : s ≤* t} 를 ℕ^ℕ 내의 σ-콤팩트 집합으로 정의하고, 이를 X에서 F_α = f(F(t_α)) 로 옮긴다.
• b = d 일 때 ℕ^ℕ 내의 스케일 {t_α : α < d} 를 구성하고, 이를 통해 Q^m 를 포함하는 X^m(ξ) 내의 내림차순 G_δ-집합 G_ξ 를 생성한다.
• 순서수에 대한 초한귀납법을 사용하여 X \ Q 에서 점 x_α 를 선택함으로써, B = {x_α : α < d} 를 구성하고, 이로 인해 M = Q ∪ B 가 모든 유한한 거듭제곱에서 Q 에 대해 집중성을 확보한다.
• 각 x_α 가 F_α 밖에 선택되도록 하여 B 가 X 의 어떤 σ-콤팩트 부분집합에도 포함되지 않도록 보장한다.
• X^m 에 Q^m 를 포함하는 d 개 미만의 G_δ-집합의 집합이 항상 공통의 G_δ-근방을 가진다는 성질을 활용하여 초한귀납적 구성이 가능함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 프레플린–밀러 정리는 내부가 비어 있는 컴팩트 부분집합이 없는 일반적인 완전하게 거리화 가능하고 분리 가능한 공간으로 확장되어 비-σ-콤팩트 멕거 공간을 구성할 수 있는가?
• RQ2 마이클의 집중집합 구성 기법을 통해 ZFC에서 유한한 거듭제곱은 멕거 성질을 가지지만 σ-콤팩트가 아닌 공간 M 을 구성할 수 있는가?
• RQ3 기수 불변량 d 는 크기가 d 미만인 공간에서 멕거 성질을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가? 특히 b = d 일 경우에 대해 설명할 수 있는가?
• RQ4 공간 X 내의 집합 M 이 어떤 σ-콤팩트 집합에도 포함되지 않지만, 그 모든 유한한 거듭제곱이 멕거 성질을 유지하도록 보장하는 방법은 무엇인가?
• RQ5 G_δ-집합을 이용한 초한귀납법을 통해 가산稠밀집집합 Q 에 대해 M 이 집중성을 가지도록 구성할 수 있는가? 이는 곱공간 내의 G_δ-집합을 통해 이루어질 수 있는가?

주요 결과

• 내부가 비어 있는 컴팩트 부분집합이 없는 완전하게 거리화 가능하고 분리 가능한 공간 X 에 대해, 모든 유한한 거듭제곱이 멕거 성질을 가지는 부분집합 M = Q ∪ B 가 존재한다.
• 집합 B 는 초한귀납법을 통해 구성되어 M 이 X 의 어떤 σ-콤팩트 부분집합에도 포함되지 않도록 하여 M 이 비-σ-콤팩트임을 보장한다.
• 이 구성은 Q 에 대해 모든 유한한 거듭제곱에서 집중성을 유지하면서 σ-콤팩트 집합 F_α 밖에서 점을 선택하는 마이클 기법에 의존한다.
• b < d 일 경우, 크기가 b 인 ℕ^ℕ 의 비유계집합 B 에 대해 M = f(B) 는 모든 유한한 거듭제곱에서 멕거 성질을 가지며 비-σ-콤팩트이다.
• b = d 일 경우, 스케일 {t_α : α < d} 의 존재성 덕분에 Q^m 를 포함하는 X^m(ξ) 내의 G_δ-집합 G_ξ 를 구성할 수 있으며, Q^m 를 포함하는 d 개 미만의 G_δ-집합의 집합은 항상 공통의 G_δ-근방을 가진다.
• 최종적으로 얻어진 공간 M = Q ∪ B 는 강력한 집중성 성질을 만족한다: 임의의 m 과 Q^m 를 포함하는 X^m 내의 G_δ-집합 H 의 집합에 대해 |H| < d 이면, M^m \ ⋂H 는 d 미만의 초평면들의 합집합에 포함된다.