[논문 리뷰] A Remark on Hypercontractive Semigroups and Operator Ideals

Gilles Pisier|arXiv (Cornell University)|2007. 08. 25.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 존슨과 샤텐의 초수렴성 반군에 관한 질문을 해결한다. $1 < p < 2$일 때, 어떤 $L_p$ 위의 해석적 반군 $T(t)$가 약간의 초수렴성 조건(즉, 어떤 $s > 0$에 대해 $T(s)$가 $L_p$를 $L_2$로 보낸다)을 만족하면, 그 모든 연산자 $T(t)$가 힐버트 공간을 통과하는 연산자의 노름 닫힘에 속한다는 것을 증명한다. 이 결과는 복소 보간과 복소 평면의 삼각형 윤곽선 위에서의 조화 측도 분석을 통해 도출되며, $T(t)$가 $L_p \to L_2$ 노름이 작은 연산자에 의해 노름으로 근사 가능하다는 것을 보장한다.

ABSTRACT

In this note, we answer a question raised by Johnson and Schechtman \cite{JS}, about the hypercontractive semigroup on $\{-1,1\}^{\NN}$. More generally, we prove the folllowing theorem. Let $10}$ be a holomorphic semigroup on $L_p$ (relative to a probability space). Assume the following mild form of hypercontractivity: for some large enough number $s&gt;0$, $T(s)$ is bounded from $L_p$ to $L_2$. Then for any $t&gt;0$, $T(t)$ is in the norm closure in $B(L_p)$ (denoted by $\bar{Γ_2}$) of the subset (denoted by ${Γ_2}$) formed by the operators mapping $L_p$ to $L_2$ (a fortiori these operators factor through a Hilbert space).

연구 동기 및 목표

• 존슨과 샤텐이 $\{-1,1\}^{\mathbb{N}}$ 위의 초수렴성 반군의 구조에 대해 제기한 질문을 해결하는 것.
• 초수렴성 반군이 $L_p$($1<p<2$)에서 정의된 연산자들이 힐버트 공간을 통과하는 연산자의 노름 닫힘에 속한다는 것을 증명하는 것.
• 결과를 일반적인 바나흐 공간과 호환 가능한 노름을 가진 좌측 이상으로 일반화하는 것.
• 기타 초수렴성 설정, 예를 들어 페르미온 반군이나 $H^p$ 공간에 적용 가능한 일반 원리 제공.

제안 방법

• 복소 평면의 삼각형 모양의 윤곽선 $K$를 이용해 해석성의 특성을 활용하는 $L_p$ 공간 위의 해석적 반군 사용.
• 도메인 $V$의 경계에서 조화 측도 $\mu$를 통한 복소 보간 적용. $V$는 $K$를 $s$만큼 이동시켜 형성된다.
• $T(t)$를 $T(t) = \int_{\partial V} \psi(z)T(z)\mu(dz)$로 적분 형태로 분해. 여기서 $\psi$는 $V_0$와 $V_1$에서 유계이고 최댓값이 제어되는 해석 함수이다.
• $\sup_{V_0}|\psi| \leq \varepsilon$ 및 $\sup_{V_1}|\psi| \leq \varepsilon^{(\theta-1)/\theta}$를 만족하는 함수 $\psi$를 구성함으로써, 연산자 노름에서의 근사가 가능해진다.
• 도메인 $V$와 표준 수직 스트립 사이의 등각 동치를 이용해 문제를 알려진 복소해석학 및 보간 이론의 결과로 환원한다.
• $T(t)$가 $L_p \to L_2$ 연산자들로 이루어진 집합의 노름 닫힘 $\overline{\Gamma_2}$에 속한다는 것을 증명하기 위해, $\|T(t) - T_1\| \leq C_0\varepsilon$ 및 $\|T_1: L_p \to L_2\| \leq C_1\varepsilon^{(\theta-1)/\theta}$임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초수렴성 반군이 $L_p$($1<p<2$)에서 정의될 때, 힐버트 공간을 통과하는 연산자에 의해 연산자 노름으로 근사 가능할 수 있는가?
• RQ2 어느 한 $T(s)$가 $L_p$를 $L_2$로 보낸다는 사실이, 모든 $t>0$에 대해 $T(t)$가 이러한 연산자의 노름 닫힘에 속한다는 것을 의미하는가?
• RQ3 결과를 $L_p$ 공간을 초월하여 일반적인 바나흐 공간과 호환 가능한 노름을 가진 연산자 이상으로 일반화할 수 있는가?
• RQ4 반군이 해석적이라는 사실만으로도, $T(s) \in \Gamma$인 어떤 $s>0$가 존재할 경우, $T(t)$가 좌측 이상 $\Gamma$의 닫힘에 속한다는 것을 보장할 수 있는가?

주요 결과

• $t>0$일 때, $T(t)$는 $L_p \to L_2$ 연산자들로 이루어진 집합의 노름 닫힘 $\overline{\Gamma_2}$에 속하며, 이는 $T(t)$가 이러한 연산자들에 의해 노름으로 근사 가능하다는 것을 의미한다.
• $\varepsilon > 0$에 대해, $\|T(t) - T'\| \leq \varepsilon$ 및 $\|T': L_p \to L_2\| \leq c\varepsilon^d$를 만족하는 연산자 $T' \in B(L_p)$가 존재한다. 여기서 $c,d > 0$는 상수이다.
• 결과는 모든 $1 < p < 2$에 대해 성립하며, $0 < p < 2$에 대해 $H^p$ 공간으로도 확장 가능하다. 이 경우 반군은 컴팩트 연산자이며, 힐버트 공간과 동형인 부분공간은 유한차원이어야 한다.
• 동일한 추론은 카르렌-라이브의 초수렴성 페르미온 반군 및 해석적 반군과 호환 가능한 연산자 이상이 존재하는 기타 설정에도 적용 가능하다.
• 반군이 오직 해석적이라는 조건만으로도 결론이 성립한다. 해석성과 무한대에서의 감쇠성으로 인해 몫 사상 $QT(t)$는 항등적으로 0이 된다.
• $T(t)$가 부분공간 $X \subset L_p$에 제한되었을 때 등장사상이면, $X$는 힐버트 공간과 동형이 되며 $L_p$에서 보완 가능하다. 이는 근사에 의해 유계 프로젝션의 존재로 인해 성립한다.