[논문 리뷰] A remark on measures of sections of $L_p$-balls

Alexander Koldobsky, Alain Pajor|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 11.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^n$ 내의 $L_p$-볼의 단면에 대한 임의의 짝수 연속 측도에 대해 날카로운 유계를 확립한다. $L_p$의 부분공간에 대한 외부 부피비율 추정과 측도에 대한 자르기 부등식을 조합하여, $\mu(K) \leq (C\sqrt{p})^k \max_H \mu(K \cap H) \cdot |K|^{k/n}$ 를 증명한다. 여기서 $C$는 절대 상수이며, 이는 밀먼의 결과를 일반 측도로 확장하고 $p$에 대한 의존도를 $O(n^{1/2-1/p})$ 에서 $O(\sqrt{p})$로 개선한다. 이 결과는 모든 $p>2$, $n \in \mathbb{N}$, 및 $1 \leq k < n$ 에 대해 성립한다. 핵심 기여는 $p$에 대한 차원에 종속되지 않는 유계를 제공하며, 모든 이러한 $L_p$-단위 볼과 짝수 연속 밀도를 가진 측도에 대해 유효하다.

ABSTRACT

We show that the slicing problem holds true for subspaces of $L_p,p&gt;2$ in the setting of arbitrary measures in place of volume. This generalizes a result of Milman for the original slicing problem.

연구 동기 및 목표

• L_p-볼에서 체적에 대해 밀먼의 $O(\sqrt{p})$ 유계를 체적에서 임의의 짝수 연속 측도로 확장한다.
• L_p-단위 볼에 대해 $\mu(K) \leq C\sqrt{p} \max_\xi \mu(K \cap \xi^\perp) |K|^{1/n}$ 를 만족하는 절대 상수 $C$ 가 존재하는지 여부를 해결한다. 이는 $p > 2$ 인 경우에 대해 성립한다.
• 고차원에서의 $k$-차원 단면을 통해 측도에 대한 자르기 부등식을 일반화한다.
• L_p-단위 볼에서 $k$-교차체의 클래스에 대한 외부 부피비율 거리가 $O(\sqrt{p})$ 이하로 유계임을 증명하며, 차원에 독립적이다.

제안 방법

• 논문 [K6]에서 확립된 lin, $L_p$-단위 볼에서 $\mathcal{BP}_k^n$ 클래스인 $k$-교차체에 대한 외부 부피비율 거리로 측도 자르기 문제를 축소한다.
• 밀먼 [M1]에서 제시된 핵심 추정(또한 [DMT]에서 유사하게 유도됨)을 적용하여, $n$-차원 $L_p$-단위 볼에서 $\mathcal{BP}_k^n$ 까지의 외부 부피비율 거리는 절대 상수 $C$ 에 대해 $C\sqrt{p}$ 이하임을 보인다.
• 레위스 정리를 활용하여 $L_p$-단위 볼을 구 위에서의 측도 $\nu$ 에 대한 적분으로 표현할 수 있는 노름 형태로 위치를 정렬함으로써, 체적과 노름 추정을 가능하게 한다.
• 부피의 극좌표 공식과 구 위의 라돈 변환을 사용하여 $L_p$-노름을 표면 적분과 연결하고, 스타링거의 근사법을 적용한다.
• 외부 부피비율 유계와 [K6]의 보조정리 1을 조합하여, $K$ 의 측도가 그 $k$-코디멘션 단면의 최대 측도와 관련됨을 유도한다.
• 피부니의 정리를 적용하고, 구 위에서 $|x_1|^p$ 의 알려진 적분 항등식을 사용하여, $n$, $p$, $\nu$ 에 따라 $K$ 의 체적에 대한 하한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 L_p-단위 볼에서 자르기 문제에 대한 $O(\sqrt{p})$ 유계가 체적에서 임의의 짝수 연속 측도로 확장될 수 있는가?
• RQ2 L_p-단위 볼에서 $k$-교차체의 클래스까지의 외부 부피비율 거리가 $p$ 에 대해서만 유계이며, 차원 $n$ 에 독립적인가?
• RQ3 고차원에서의 $k$-코디멘션 단면에 대한 일반화된 자르기 부등식이 $n$ 에 의존하지 않고 $p$ 에만 의존하는 상수로 성립하는가?
• RQ4 L_p-단위 볼에 대해 $p > 2$ 인 경우, 측도 자르기 부등식에서 $p$ 에 대한 의존도를 $O(n^{1/2-1/p})$ 에서 $O(\sqrt{p})$ 로 개선할 수 있는가?
• RQ5 L_p-단위 볼과 짝수 연속 밀도를 가진 측도에 대해 부등식 $\mu(K) \leq (C\sqrt{p})^k \max_H \mu(K \cap H) |K|^{k/n}$ 에서 최적의 상수 $C$ 는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 모든 $p > 2$, $n \in \mathbb{N}$, $1 \leq k < n$, 및 $L_p$-공간의 $n$-차원 부분공간에 대해, $\mathcal{BP}_k^n$ 클래스인 $k$-교차체까지의 외부 부피비율 거리가 절대 상수 $C$ 에 대해 $C\sqrt{p}$ 이하로 유계임을 증명한다.
• 이 유계는 임의의 짝수 연속 밀도를 가진 측도 $\mu$ 에 대해 $\mu(K) \leq (C\sqrt{p})^k \max_{H \in \mathrm{Gr}_{n-k}} \mu(K \cap H) \cdot |K|^{k/n}$ 를 암시하며, $C$ 는 $n$, $p$, $k$, $K$, $\mu$ 에 영향을 받지 않는다.
• 이 유계는 이전의 추정인 $O(n^{1/2-1/p})$ 에 비해 향상되었으며, 밀먼의 원래 $L_p$-체적 결과와 일치하는 최적의 $p$ 의 의존도를 달성한다.
• 결과는 모든 차원 $n$ 에 대해 균일하게 성립하며, 상수 $C$ 는 절대 상수이므로 $n$, $p$, $k$, 또는 특정 $L_p$-부분공간에 영향을 받지 않는다.
• 증명은 레위스 위치와 구 위의 $L_p$-노름과 관련된 적분 항등식을 활용하며, 스타링거의 근사법을 통해 체적 하한을 유도한다.
• 저자들은 외부 부피비율 추정이 기존의 $O(\sqrt{p})$ 체적 결과와 일치하며, 일반 측도로의 확장을 위해 날카로운 것으로 확인한다.