[논문 리뷰] A remark on our paper "Negative Holomorphic curvature and positive canonical bundle"

Damin Wu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 06.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 수치적 효과성에 의존하지 않고, 음의 헬름홀츠 곡률을 가진 컴acts Kähler 다양체에서 Kähler-Einstein 계량이 존재한다는 새로운 증명을 제시한다. 또한, 준음성 헬름홀츠 곡률이 정규화된 캐논리컬 번들의 양성성을 암시함을 입증하여, [TY]에서 제기된 추측을 확인하고, Yau와 Cheng의 추정 및 은밀한 함수 이론을 사용하여 이전 연구 결과를 확장한다.

ABSTRACT

This is a continuation of our first paper in [WY16]. There are two purposes of this paper: One is to give a proof of the main result in [WY16] without going through the argument depending on numerical effectiveness. The other one is to provide a proof of our conjecture, mentioned in [TY], where the assumption of negative holomorphic sectional curvature is dropped to quasi-negative. We should note that a solution to our conjecture is also provided by Diverio-Trapani [DT]. Both proofs depend on our argument in [WY16]. But our argument here makes use of the argument given by the second author and Cheng in [CY75].

연구 동기 및 목표

• 수치적 효과성에 의존하지 않고 [WY16]의 주요 결과에 대한 대체 증명을 제공한다.
• [TY]에서 제기된 추측, 즉 준음성 헬름홀츠 곡률이 캐논리컬 번들의 양성성을 암시한다는 것을 증명한다.
• 헬름홀츠 곡률이 비음성이고 한 점에서 엄격히 음성일 경우 Kähler-Einstein 계량의 존재를 확장한다.
• 적분적 양성도 $c_1(K_X)^n$ 의 양성도를 통해 준음성 곡률 조건 하에서 캐논리컬 번들의 앰프성(ample)을 확립한다.
• Yau와 Cheng의 추정 및 은밀한 함수 이론을 사용하여 [WY16]의 결과를 통합하고 강화한다.

제안 방법

• 구간 $[0, t_1]$ 에서 $t \in [0, t_1]$ 에 대해 몽제-암페르 유형 방정식 $(t\omega + dd^c \log \omega^n + dd^c u_t)^n = e^{u_t} \omega^n$ 을 사용한다.
• 선형화된 연산자 $\Delta_{t_0} - 1$ 의 가역성에 의해 은밀한 함수 정리 적용으로 $I$ 의 열린성을 보인다.
• 곡률 추정과 최대원리로부터 유도된 $u_t$ 의 균일한 $C^{k+2,\alpha}$ 유계성으로 $I$ 의 닫힘을 확립한다.
• 곡률 연산자의 추적을 제어하기 위해 부등식 $\Delta' \log S \geq \left[ \frac{t}{n} + \frac{(n+1)\kappa}{2n} \right] S - 1$ 을 활용한다.
• $t=0$ 근처에서 $u_t$ 를 제어하기 위해 보조정리 3(전역 $L^2$-형 지수 적분 가능성) 과 보조정리 4(하위해의 기울기 추정) 를 적용한다.
• 리만 수렴 정리와 헬더 부등식을 사용하여 $\limsup_{t \to 0} \int_X \omega_t^n > 0$ 를 보이며, 이는 $\int_X c_1(K_X)^n$ 의 양성도를 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 음성 헬름홀츠 곡률 조건을 만족하는 다양체에서 Kähler-Einstein 계량의 존재성은 수치적 효과성에 의존하지 않고 증명될 수 있는가?
• RQ2 준음성 헬름홀츠 곡률이 캐논리컬 번들의 양성성(즉, $\int_X c_1(K_X)^n > 0$) 을 암시하는가?
• RQ3 [TY]에서 제기된 추측은 대수기하학에 의존하지 않는 해석적 방법으로 확인될 수 있는가?
• RQ4 준음성 곡률 조건 하에서 몽제-암페르 해 $u_t$ 가 $t \to 0$ 일 때 어떻게 행동하는가?
• RQ5 곡률 추정과 $u_t$ 에 대한 $L^p$ 유계성은 캐논리컬 번들의 적분의 양성도를 어떻게 보장하는가?

주요 결과

• 몽제-암페르 방정식의 해 집합 $I$ 는 $[0, t_1]$ 에서 열려 있고 닫혀 있으므로 $0 \in I$ 이며, 이는 부드러운 해 $u_0$ 와 함께 음의 리치 곡률을 가진 Kähler-Einstein 계량을 유도한다.
• 헬름홀츠 곡률이 음성인 경우, 음의 리치 곡률을 가진 Kähler-Einstein 계량의 존재로 인해 캐논리컬 번들의 앰프성(ample)이 성립한다.
• 준음성 헬름홀츠 곡률 조건 하에서 $\int_X c_1(K_X)^n > 0$ 는 $L^p$ 유계성과 $\exp(u_t - \max u_t)$ 의 $L^1$ 수렴성에 의해 확립된다.
• 리만 수렴 정리와 헬더 부등식을 사용하여 $\limsup_{t \to 0} \int_X \omega_t^n > 0$ 이 증명되며, 이는 $\int_X c_1(K_X)^n$ 의 양성도를 암시한다.
• $t \in (0, t_1]$ 에 대해 $\|u_t\|_{C^{k+2,\alpha}} \leq C$ 는 $t$ 에 대해 균일하므로 컴actness와 부분수열 수렴성을 보장한다.
• 결과적으로 준음성 곡률 조건이 $K_X$ 가 앰프임을 확인하며, Moishezon 정리에 의해 $X$ 는 프로젝티브 다양체가 되어 문제를 프로젝티브 경우로 축소한다.