[논문 리뷰] A remark on trace properties of K-cycles

Fabio Cipriani, Daniele Guido외 1명|ArXiv.org|1995. 06. 14.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 6인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 비가환 기하학에서 $d^+$-summable $K$-cycles에 대해 추적 정리의 엄밀한 증명을 제공하며, Connes가 주장한 바와 같이 함수 $\varphi(a) = \tau_\omega(|D|^{-d}a)$가 대수 $\mathcal{A}$ 위에서 추적임을 확인한다. 또한 이 추적 성질이 추가적인 정규성 조건이 없이는 보편적인 등급 미분 대수 $\Omega(\mathcal{A})$로 확장되지 않음을 보여주는 반례를 제시한다.

ABSTRACT

In this paper we discuss trace properties of $d^+$-summable $K$-cycles considered by A.Connes in [ fr(Conn4)]. More precisely we give a proof of a trace theorem on the algebra $\A$ of a $K$--cycle stated in [ fr(Conn4)], namely we show that a natural functional on $\A$ is a trace functional. Then we discuss whether this functional gives a trace on the whole universal graded differential algebra $\Q(\A)$. On the one hand we prove that the regularity conditions on $K$-cycles considered in [ fr(Conn4)] imply the trace property on $\Q(\A)$. On the other hand, by constructing an explicit counterexample, we remark that the sole $K$-cycle assumption is not sufficient for such a property to hold.

연구 동기 및 목표

• Connes가 증명하지 못한 주장인, $d^+$-summable $K$-cycle의 대수 $\mathcal{A}$ 위에서 함수 $\varphi(a) = \tau_\omega(|D|^{-d}a)$가 추적임을 엄밀히 증명하는 것.
• 이 추적 함수가 보편적인 등급 미분 대수 $\Omega(\mathcal{A})$로 확장되는지 조사하는 것.
• 최소한의 $K$-cycle 조건만으로는 성립하지 않음을 고려할 때, $\Omega(\mathcal{A})$에서 추적 성질이 성립하는 정규성 조건을 규명하는 것.
• 추가 정규성 조건 없이도 일반적인 $K$-cycles에 대해 $\Omega(\mathcal{A})$에서 추적 성질이 성립하지 않음을 보여주는 명시적 반례를 구성하는 것.

제안 방법

• 유계 수열 위에서 일반화된 극한을 이용해 정의된 Dixmier 추적 $\tau_\omega$를 활용하여, $|D|^{-1}$의 $d^+$-summability를 이용해 $\mathcal{A}$ 위에 함수 $\varphi(a) = \tau_\omega(|D|^{-d}a)$를 정의한다.
• 노름 이상의 이상치 이론, 특히 $\mathcal{L}^{1^+}$-이상과 특이값 $\sigma_n(|D|^{-d})$의 渐近적 행동을 적용한다.
• 유도자 $[D,\cdot]$의 그래프 노름을 분석하여 $\mathcal{A}$와 그 부분대수 $\mathcal{A}_2$의 닫힘을 비교함으로써, $|\lambda| \neq |\mu|$일 경우 반대각선 블록에서의 차이를 드러낸다.
• 유도자 $[D,\cdot]$의 비퇴화된 고유값 $\lambda, \mu$를 가진 특정 $K$-cycle을 구성하여, $|\lambda| \neq |\mu|$일 경우 $\Omega(\mathcal{A})$에서 추적 성질이 성립하지 않음을 입증한다.
• 유도자 $[[D,a],[D,a^*]]$의 추적 조건을 이용해, $\Omega(\mathcal{A})$에서 추적 성질이 성립하는 것은 $|\lambda| = |\mu|$일 때에만임을 증명한다.
• 스펙트럼 분해와 $\sigma(b^{-1})$ 위의 다항식 대수와 $\mathcal{A}$의 행렬 블록 사이의 동형사상으로 노름 및 그래프 노름 닫힘을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Connes의 주장과 같이, $d^+$-summable $K$-cycle의 대수 $\mathcal{A}$ 위에서 함수 $\varphi(a) = \tau_\omega(|D|^{-d}a)$는 추적인가?
• RQ2 Dixmier 추적 함수가 보편적인 등급 미분 대수 $\Omega(\mathcal{A})$로 확장되어 추적으로 작용하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 $K$-cycle의 공리만으로는 $\Omega(\mathcal{A})$에서 추적 성질을 보장할 수 있는가, 아니면 추가적인 정규성 조건이 필요한가?
• RQ4 $K$-cycle이 공리를 만족하지만 $\Omega(\mathcal{A})$에서 추적 성질이 실패하는 반례가 존재하는가?
• RQ5 유도자 $[D,\cdot]$의 고유값 $\lambda, \mu$와 $\Omega(\mathcal{A})$에서의 추적 성질 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 함수 $\varphi(a) = \tau_\omega(|D|^{-d}a)$는 대수 $\mathcal{A}$ 위에서 추적임을 확인하여, Connes의 증명되지 않은 주장이 맞다는 것을 입증한다.
• $\Omega(\mathcal{A})$에서의 추적 성질은 $[D,\cdot]$의 비대각선 블록에서의 고유값 $\lambda, \mu$에 대해 $|\lambda| = |\mu|$일 때에만 성립한다.
• $|\lambda| \neq |\mu|$인 반례를 구성하여, $K$-cycle 공리만으로는 $\Omega(\mathcal{A})$에서 추적 성질을 보장할 수 없음을 보여준다.
• $\mathcal{A}$와 $\mathcal{A}_2$의 노름 닫힘은 서로 일치하며, $M_2 \otimes \mathcal{C}_0(\sigma(b^{-1}))$와 동형이지만, 그들의 그래프 노름 닫힘은 반대각선 블록에서 다름을 보인다.
• $\mathcal{A}$의 그래프 노름 닫힘은 0에서 연속적이며 0에서 유한한 도함수를 가진 함수를 포함하지만, $\mathcal{A}_2$의 경우 0에서 도함수가 0이어야 한다.
• $|\lambda| \neq |\mu|$일 경우 $\varphi([[D,a],[D,a^*]]) \neq 0$이므로, $\Omega(\mathcal{A})$에서 추적 성질이 실패한다.