[논문 리뷰] A representation of exchangeable hierarchies by sampling from real trees

Noah Forman, Chris Haulk외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 28.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 54인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 확률측도를 지닌 무작위 가중 실수 트리에서 i.i.d. 점을 샘플링하여 양의 정수 위의 교환 가능 계층을 표현한다. 모든 교환 가능 계층은 무작위 실수 트리에 무작위 측도를 부여하거나 [0,1] 위의 계층에 i.i.d. 균일 레이블을 적용함으로써 유도되며, 이는 랜덤 트리 임bedding과 측도의 원자적, 연속적, 확산 성분으로의 분해를 통한 완전한 확률적 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

A hierarchy on a set $S$, also called a total partition of $S$, is a collection $\mathcal{H}$ of subsets of $S$ such that $S \in \mathcal{H}$, each singleton subset of $S$ belongs to $\mathcal{H}$, and if $A, B \in \mathcal{H}$ then $A \cap B$ equals either $A$ or $B$ or $\varnothing$. Every exchangeable random hierarchy of positive integers has the same distribution as a random hierarchy $\mathcal{H}$ associated as follows with a random real tree $\mathcal{T}$ equipped with root element $0$ and a random probability distribution $p$ on the Borel subsets of $\mathcal{T}$: given $(\mathcal{T},p)$, let $t_1,t_2, ...$ be independent and identically distributed according to $p$, and let $\mathcal{H}$ comprise all singleton subsets of $\mathbb{N}$, and every subset of the form $\{j: t_j \in F_x\}$ as $x$ ranges over $\mathcal{T}$, where $F_x$ is the fringe subtree of $\mathcal{T}$ rooted at $x$. There is also the alternative characterization: every exchangeable random hierarchy of positive integers has the same distribution as a random hierarchy $\mathcal{H}$ derived as follows from a random hierarchy $\mathscr{H}$ on $[0,1]$ and a family $(U_j)$ of IID uniform [0,1] random variables independent of $\mathscr{H}$: let $\mathcal{H}$ comprise all sets of the form $\{j: U_j \in B\}$ as $B$ ranges over the members of $\mathscr{H}$.

연구 동기 및 목표

• 무작위 실수 트리를 사용하여 양의 정수 위의 교환 가능 계층의 분포를 특성화하는 것.
• 확률측도를 지닌 무작위 가중 실수 트리에서 i.i.d. 샘플링을 통해 교환 가능 계층의 확률적 표현을 수립하는 것.
• 계층이 [0,1] 위에서 정의된 계층과 i.i.d. 균일 래벨을 통해 다른 표현 방식을 제공하는 것.
• 기저 측도를 원자적, 연속적, 확산 성분으로 나누는 구조적 분해를 탐색하는 것.
• de Finetti 유형 정리들을 계층적 설정으로 확장하여 독립적 생성과 교환 가능성에 필요한 조건을 규명하는 것.

제안 방법

• 측도가 가미된 교환 가능 계층으로부터 가측 함수를 통해 무작위 루트를 지닌 가중 실수 트리 (T, 0, ℓ₁, p)를 구성하는 것.
• 트리 T 위의 측도 p에서 i.i.d. 점 (t_j)를 샘플링하여, 각 정점 x ∈ T 에서 루트를 가진 프링 프러브 서브트리 F(x)에 속하는 j에 대해 {j : t_j ∈ F(x)} 로 정의된 계층 H 를 정의하는 것.
• 다른 표현 방식을 사용: [0,1] 위의 계층 H 와 i.i.d. 균일분포 [0,1] 변수 (U_j) 를 샘플링하고, B ∈ H 이면 H 를 {j : U_j ∈ B} 로 정의하는 것.
• 트리 위의 기저 측도 p 를 세 성분의 합으로 표현: 순수 원자적 (폭발), 연속적 (에로지언), 확산 (큰 블록 생존) 성분.
• EPPF (교환 가능 분할 확률 함수) 프레임워크를 적용하여 계층적 구조와 무작위 측도, 대칭 다항식 간의 연결 고리를 설정하는 것.
• Kingman 단체와 단항 대칭 다항식을 사용하여 EHPF (교환 가능 계층 확률 함수) 를 단체 위의 적분으로 표현하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 양의 정수 위의 교환 가능 계층은 무작위 가중 실수 트리와 무작위 측도를 지닌 무작위 샘플링의 영상으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 트리 위의 기저 측도 p 는 원자적, 연속적, 확산 성분으로 어떻게 분해되며, 각 성분은 계층에서 어떤 의미를 갖는가?
• RQ3 교환 가능 계층에 대한 EPPF 표현의 포괄적 유사체가 존재하는가? 이는 잘 순서가 매겨진 분할 과정을 초월하는가?
• RQ4 계층의 분포가 [0,1] 위의 계층과 균일 레이블링을 통해 유도되는 조건은 무엇인가?
• RQ5 두 개의 무작위 트리-측도 쌍 간의 동형성은 위상적 및 측도 이론적 불변량만으로 판단될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 ℕ 위의 교환 가능 계층은 분포적으로 무작위 가중 실수 트리 (T, 0, p) 에서 i.i.d. 샘플링으로 생성된 계층으로 나타난다. 각 블록은 점들이 프링 프러브 서브트리에 속하는 경우에 대응한다.
• [0,1] 위의 계층과 i.i.d. 균일분포 [0,1] 레이블을 사용한 등가 표현이 존재한다. 이 경우, 각 블록은 레이블 집합이 계층의 원소에 속할 때 정의된다.
• 트리 위의 기저 측도 p 는 거의 확실하게 세 성분으로 분해된다: p_a (원자적, 폭발을 위한), p_s (연속적, 에로지언을 위한), p_l (확산, 큰 블록 생존을 위한).
• EHPF (교환 가능 계층 확률 함수) 는 서로소 집합들 사이에서 곱 법칙을 만족하는 성분들로 유일하게 분해되며, 이는 독립적으로 생성된 계층을 특성화한다.
• EHPF 는 단항 대칭 다항식을 사용하여 Kingman 단체 위의 적분으로 표현 가능하며, 이는 EPPF 프레임워크를 계층으로 일반화한다.
• 논문은 계층에 대해 de Finetti 유형 정리를 수립하여, 교환 가능성과 독립적 생성이 실수 트리 위의 무작위 측도를 통한 표현을 암시함을 보였다.